Malha infinita e resistência equivalente

Uma malha infinita é representada na figura abaixo. Cada aresta possui uma resistência e são todas iguais. Calcule a resistência equivalente entre 1 e 4, sabendo que a resistência equivalente entre os pontos 1 e 2 vale R e a resistência equivalente entre os pontos 1 e 3 vale r.

Spoiler:

Boa noite.

Trace um eixo de simetria que passe pelos pontos 1 e 4. Note que entre 2 e seu simétrico não há ddp, logo não passa corrente. O mesmo acontece para todos os outros losangos. Dessa forma, vamos supor que de 1 saia uma corrente 2i que divide-se em i e i, para cada lado do eixo de simetria. Quando chega em 2, i divide-se em i1, que segue para 4, outro i1, por simetria, que segue para cima, e i2, que segue para 3. Sabemos que a resistência equivalente entre dois pontos (1 e 2, por exemplo) é R, disso podemos calcular a resistência de cada aresta (Ra). 





Esse resultado é essencial para seguirmos em frente. Nos foi dada a resistência equivalente entre 1 e 3, e com isso podemos seguir nosso cálculo.



Analogamente, entre 1 e 4:



Substituindo Ra = 2R em ambas as equações:

  (I)

  (II)

Sabemos, pelo raciocínio do início, que as correntes estão relacionadas por

  (III)

Pronto. Agora é só álgebra, já gastamos nossas manipulações físicas. De I podemos extrair i2, jogar em III e achar i1, para finalmente obtermos Req, em II.

 









Finalmente, jogando em II:







 

Bela resolução, Gilberto. Ficou mais clara e objetiva que a do meu professor - que, a propósito, não entendi.

Obrigado.