Resistência equivalente em uma malh infinita

Na associação abaixo tem-se entre cada nó do circuito um resistor de resistência R. A malha é infinita em todas as direções. Qual a resistência equivalente entre os pontos X e Y ?



Achei duas apostilas com gabaritos diferentes
Rv2 (Le-se R raiz de dois) em uma apostila e R/2 (em uma outra apostila)

Questão muito boa da época que eu estava prestando IME. Foi feita pelo prof. Renato Brito, de Fortaleza. 


Observação feita no enunciado: Para garantir o retorno da corrente que sai de X, vai para o infinito, volta e chega em Y, admita que o plano de resistências trata-se de uma esfera gigante, de raio infinito. Isso significa que todos os pontos, no infinito, têm o mesmo potencial elétrico.

Admita que uma Bateria de fem E esteja ligada entre os pontos X e Y da malha abaixo, com o polo positivo em X e o negativo em Y. Assim toda a corrente proveniente da bateria (não desenhada) entra pelo ponto X, circula pelo circuito  e retorna pelo ponto Y para a bateria (figura 1). Percebendo o trecho XBCY e observando o sentido da corrente, é fácil perceber que V_X > V_B>V_C>V_Y  .Admita que uma Bateria de fem E esteja ligada entre os pontos X e Y da malha abaixo, com o polo positivo em X e o negativo em Y. Assim toda a corrente proveniente da bateria (não desenhada) entra pelo ponto X, circula pelo circuito  e retorna pelo ponto Y para a bateria (figura 1). Percebendo o trecho XBCY e observando o sentido da corrente, é fácil perceber que V_X > V_B > V_C > V_Y .




Os pontos X e Y funcionam, respectivamente, como a fonte e o dreno (sorvedouro) de toda a corrente elétrica.
O circuito apresenta uma simetria apenas em relação ao eixo que contém os nós X e Y. Assim, terão o mesmo potencial elétrico os pares de pontos que estiverem sobre um mesma linha horizontal e forem simétricos em relação ao eixo de simetria, como os pares de pontos (A,A), ( B,B), (C,C)  e (D,D)  mostrados na figura 1. A simetria também permite concluir que as quatro correntes i₁ são iguais entre si, assim como as duas correntes i₂ e as duas correntes i₃.
A não existência de uma simetria radial em torno do ponto X, por exemplo, não permite assegurar que as correntes i₁, i₃  e i₄ são iguais entre si. Muitas pessoas incorrem nesse sofisma.

A falta de simetria radial em torno dos pontos X ou Y dificulta a análise do circuito. Para aumentar a sua simetria, usaremos o artifício de considerar que a bateria E trata-se de duas baterias de fem E/2 em série entre si, percorridas pela mesma corrente i de antes (figura 2). O ponto  p  que encontra-se entre as duas baterias será aterrado ao infinito, onde todos os pontos estão a um mesmo potencial elétrico. Assim, o circuito da figura 2 equivale ao da figura 3.

Para analisar o circuito da figura 3, utilizemos o princípio da superposição, ligando uma fontes de cada vez, mantendo a outra desligada (figuras 4 e 5) e, em seguida, superpondo os resultados para obter o efeito resultante. Em outras palavras, o circuito da figura 3 pode ser admitido como a superposição dos circuitos das figuras 4 e 5.


Figura 2




Figura 3


No circuito da figura 4, finalmente obtivemos a simetria radial em torno do ponto X que há tanto desejávamos. Nesse circuito, toda a corrente i proveniente da bateria se divide em quatro partes iguais ( i /4) que se espalham divergindo até o infinito e retornando pelo ponto p, entrando pelo polo negativo da bateria novamente. Assim, agora o ponto X funciona como a fonte da corrente do circuito e o dreno (sorvedouro) está no infinito.


Figura 4



Figura 5



Analogamente,   no circuito da figura 5, para que uma corrente  i  retorne ao polo negativo da bateria, quatro parcelas iguais  ( i / 4) , provenientes do infinito convergem para o dreno Y (sorvedouro) e são levadas pela bateria novamente até o infinito (fonte).
Superpondo as correntes encontradas nas figuras 4 e 5, obtemos novamente o circuito da figura 6 (figura 6 ou 7) , no qual só é possível determinar efetivamente a corrente ( i /4  + i /4) que vai do nó X ao nó Y  através do circuito externo.



Figura 6




Figura 7


As demais correntes da figura 7 ainda permanecem indeterminadas, por se tratarem de superposição de duas componentes das quais apenas uma delas é conhecida, quer na figura 4, quer na figura 5.
Assim, se a bateria de fem E é percorrida por uma corrente i, ao ser conectada aos pontos X e Y  entre os quais a resistência equivalente vale  Req_xy , então:
E =  Req_xy . i      (1)
Se cada célula quadrada é formada por quatro resistores de resistência R, então entre os pontos X e Y existe uma resistência R sendo percorrida por uma corrente ( i /4  +  i / 4) quando submetida a uma tensão E, então:
E  =   R.( i /4  +  i / 4)     (2)
Das relações  1  e  2, vem:

E =  Req_xy . i  =  R.( i /4  +  i / 4)    então   Req = R / 2

Solução dada pelo prof  de Física Renato Brito de Fortaleza, engenheiro eletrônico ITA - 97.

Solução disponível em: http://www.fisicaju.com.br/fisica/malha/solucao.htm

Impressionante...