POLINÔMIO - UDESC

por Texaco1 Sex 03 Jun 2016, 19:42

Um polinômio p(x) possui grau 4 e é divisível simultaneamente por f(x)=x²+5 e por g(x)=2x-3. Se p satisfizer as condições p(-1)=150 e p(2)=63, então a soma de todos os seus coeficientes é igual a:

R:-18

por **Elcioschin** Sex 03 Jun 2016, 20:14

Eis o caminho (é trabalhoso)

Seja P(x) = a.x⁴ + b.x³ + c.x² + d.x + e

P(-1) = 150 ---> a - b + c - d + e = 150 ---> I

P(2) = 63 ---> 16.a + 8.b + 4.c + 2.d + e = 63 ---> II

Divida P(x) por f(x) = x²+5 (use o método da chave) e encontre o resto no formato R(x) = k.x + m Para R(x) = 0 devemos ter k = 0 e m = 0

Eu fiz e achei d = 5.b ---> III e achei e = 5.c - 25 --> IV (Confira as contas)

Divida P(x) por g(x) = 2.x-3 (pelo Método da Chave ou Briott- Ruffini), iguale o resto a zero e ache mais uma equação.

Resolva o sistema de equações

por Texaco1 Sex 03 Jun 2016, 20:16

Obrigado

por LucasAM Sex 21 Out 2016, 02:36

Também achei os valores de D=5b e E = 5c - 25
Porém o sistema de equações fica muito complexo e ainda não fecha com números exatos. A conta fica muito acima do nível deste vestibular...
Creio que certamente deverá existir outro caminho para a solução

POLINÔMIO - UDESC 2d99sog

por RenataRodrigues Sex 21 Out 2016, 13:40

Uma outra forma:
Se p(x) é divisível por (x²+5) e (2x-3) separadamente, então será divisível pelo produto também.

.:. p(x) = (x²+5)(2x-3)(ax + b) já que p(x) tem grau 4

p(-1) = (1 + 5)(-2 - 3)(-a + b) = 150 --> -a + b = -5 (I)
p(2) = (4 + 5)(4 - 3)(2a + b) = 63 --> 2a + b = 7 (II)

2*(I) + (II) --> b = -1 e a = 4 .:. p(x) = (x²+5)(2x-3)(4x - 1)
p(1) = -18 Smile