Divisibilidade - Restos

Determinar o resto da divisão por 8, da soma:

Spoiler:

Fala pessoal tudo certo?, estava estudando o assunto de divisibilidade (mais especificamente de restos), e não consegui resolver essa questão, como eu poderia proceder sem usar a teoria dos numeros, mas apenas os conceitos basicos da matematica?

Pelo que eu aprendi se um numero tem um expoente exagerado, logo o resto terá o mesmo expoente, dividindo o numero encontra-se um resto, em seguida observe o comportamento das potencias dos restos, e de cada um tire um novo resto, exemplo:

Determinar o resto da divisao por 5 o numero 

dividindo o primeiro numero  por 5 encontramos o resto 2, logo verificamos o padrão de restos que as potencias de 2 deixam quando divididas por 5

2¹ = 2         resto (2)
2² = 4         resto (4)
2³ = 8         resto (3)
2^4 = 16     resto (1)
.
.
.
logo depois os restos se repetem, concluimos que o total de possibilidades são 4, dividindo o expoente 359 pelos total de possibilidades que são 4, encontramos o numero de conjuntos formados pelos numeros (2, 4, 3, 1)  e o resto dessa divisão será a posição que ele estará na tabela dos restos acima, 359 dividido por 4, deixa resto 3, a posição do resto sera a terceira potencia (2³), logo o resto do numero  por 5 será 3

Mas no caso do numero  dividido por 8 da qual resto?, eu fiz o mesmo processo veja:

138947 dividido por 8 deixa resto 3, montando a tabela das potencias

3¹ = 3       resto (3)
3² = 9      resto (1)
3³ = 27    resto (3)
3^4 = 81  resto (1)
.
.
.
Observando vemos que as possibilidades são duas, dividido o expoente do numero 138947 por 2 fica:

76 dividido por 2 deixa resto 0, é a partir desse ponto que eu não consegui resolver mais, alguem poderia me ajudar?

PRIATELIA escreveu:https://pir2.forumeiros.com/t79349-resto-da-divisao-por-8

Eu vi essa resolução, mas envolve teoria dos numeros, e eu não aprendi ainda

tiago173 escreveu:Determinar o resto da divisão por 8, da soma:

Spoiler:

Fala pessoal tudo certo?, estava estudando o assunto de divisibilidade (mais especificamente de restos), e não consegui resolver essa questão, como eu poderia proceder sem usar a teoria dos numeros, mas apenas os conceitos basicos da matematica?

Pelo que eu aprendi se um numero tem um expoente exagerado, logo o resto terá o mesmo expoente, dividindo o numero encontra-se um resto, em seguida observe o comportamento das potencias dos restos, e de cada um tire um novo resto, exemplo:

Determinar o resto da divisao por 5 o numero 

dividindo o primeiro numero  por 5 encontramos o resto 2, logo verificamos o padrão de restos que as potencias de 2 deixam quando divididas por 5

2¹ = 2         resto (2)
2² = 4         resto (4)
2³ = 8         resto (3)
2^4 = 16     resto (1)
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logo depois os restos se repetem, concluimos que o total de possibilidades são 4, dividindo o expoente 359 pelos total de possibilidades que são 4, encontramos o numero de conjuntos formados pelos numeros (2, 4, 3, 1)  e o resto dessa divisão será a posição que ele estará na tabela dos restos acima, 359 dividido por 4, deixa resto 3, a posição do resto sera a terceira potencia (2³), logo o resto do numero  por 5 será 3

Mas no caso do numero  dividido por 8 da qual resto?, eu fiz o mesmo processo veja:

138947 dividido por 8 deixa resto 3, montando a tabela das potencias

3¹ = 3       resto (3)
3² = 9      resto (1)
3³ = 27    resto (3)
3^4 = 81  resto (1)
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Observando vemos que as possibilidades são duas, dividido o expoente do numero 138947 por 2 fica:

76 dividido por 2 deixa resto 0, é a partir desse ponto que eu não consegui resolver mais, alguém poderia me ajudar?

Boa noite, tiago173.

Continuando de onde você parou:
Quando o resto for 0, significa que deve considerar como resto o último resultado da série de restos que se repetem, o seja, deve tomar o 1 do grupo (3,1).
Assim, 138947^76 quando dividido por 8 deixa resto 1.

A seguir, analisemos a outra potência: 985637^43 quando dividida por 8:
Resto de 958637/8 = 5.
5¹ = 5
5² = 25
5³ = 125

Ou seja, o resto será sempre igual a 5.
Assim, 985637^43 / 8  deverá deixar resto 5.

Somando os restos das duas potências, temos:
1+5=6





Um abraço.

Muito obrigado ivomilton você é 10!!!