Propriedades Coligativas- Soluções ideais

Dois líquidos A e B formam solução ideal em qualquer composição. Quando puros, a 50 graus Celsius, a pressão máxima de vapor de A é de 80 torr e a de B é 120 torr. Qual a fração molar de A na fase líquida de uma mistura formada por esses líquidos, para que a fração molar de B na fase gasosa, em equilíbrio com essa fase líquida, seja 60%.

Gabarito: 0,5

Definições:
X_n → fração da substância n na fase líquida
Y_n → fração da substância n na fase gasosa
P_n → pressão da substância n
P^º_n → pressão da substância n na condição padrão (líquido puro)

Pela Lei de Raoult:

[latex]Y_{b}=\frac{P_{b}}{P}=\frac{P_{b}^{\circ}\cdot x_{b}}{P_{a}^{\circ}\cdot x_{a}+P_{b}^{\circ}\cdot x_{b}}=\frac{P_{b}^{\circ}-P_{b}^{\circ}\cdot x_{a}}{\left (P_{a}^{\circ}-P_{b}^{\circ}  \right )\cdot x_{a}+P_{b}^{\circ}}[/latex]

Substituindo os valores:

[latex]0.6=\frac{120-120\cdot x_{a}}{(80-120)\cdot x_{a}+120}=\frac{3-3\cdot x_{a}}{3-x_{a}}[/latex]

[latex]1.8-0.6\cdot x_{a}=3-3\cdot x_{a}[/latex]

[latex]2.4\cdot x_{a}=1.2 \rightarrow  {\color{DarkGreen} x_{a}=0.5}[/latex] 

Sugestão de solução

Pa = Pressão de A
Pb = Pressão de B

Na = Quantidade de mols de A
Nb = Quantidade de mols de B

Tem-se: Pb = (Pa+Pb)60/100 ---> 40Pb/100 = 60Pa/100

Mas, pela Lei de Raoult: Pb = 120(Nb)/Na+Nb e Pa = 80(Na)/(Na+Nb)

Então: 4(120Nb)/Na+Nb = 6(80Na)/Na+Nb

Nb = Na

A fração molar de A é dada por Na/Na+Nb = 1/2 = 0,5