A viagem mais rápida

Relembrando a primeira mensagem :

Num ponto A de uma estrada de ferro retilinea existe uma cidade A.
Considere um ponto D da estrada, distante a da cidade A. Distante 20 km deste ponto D, medido perpendicularmente à via férrea, existe um povoado B.
Quer-se construir uma estação C na estrada de ferro, entre A e D e dalí construir uma estrada de terra até o povoado B.
Qual deve ser a distância CD, para que a viagem de A até C por trem e de C até B por terra leve o mínimo tempo.
Deve-se desprezar o tempo de baldeação em C e levar que conta que a velocidade do trem é 48 km/h e por estrada de rodagem (péssima) é 12 km/h. Discuta posteriormente a resposta em função da distância a.

Sol.: CD ~= 5,16 km

Opa, vlw Euclides, irei dar uma olhada...

Vou aproveitar essas férias e estudar algo novo!
Obrigado, Euclides!

O assunto derivadas acabou desviando minha atenção da solução da questão SEM usar derivadas.
Vou mostrar como fazer, a partir da fórmula do Vinicius:

t1 + t2 = (a - x)/48 + \/(20² + x²)/12 ----> Fazendo t1 + t2 = T

T = (a - x)/48 + \/(20² + x²)/12 ----> T é a função que queremos minimizar.

48*T = (a - x) + 4*\/(20² + x²) ----> 48*T - a = - x + 4*\/(20² + x²)

Fazendo M = 48*T - a ---> Como a é constante, o mínimo da função T coincide com o mínimo da função M.

M = - x + 4*\/(x² + 400) ---> M + x = 4*\/(x² + 400) ---> (M + x)² = 16*(x² + 400) --->

5x² - 2Mx + 6400 - M² = 0

Discriminante ----> D = (- 2M)² - 4*15*(6400 - M²) ----> D = 64*M² - 384000 ----> D = 16*(M² - 6000)

O valor MÍNIMO de M é a aquele que torna nulo o discriminante ----> M² = 6000 ----> M = 20*\/15

Calculando x obtém-se ---> x ~= 5,16 km

Conclusão importantíssima: O posto de desembarque C deve estar situado a 5,16 km do ponto D, qualquer que seja o valor da distância a = AD.

É óbvio que esta solução tem sentido SOMENTE se x < a

Se x = a não faz falta o desembarcadouro C, devendo a estrada de rodagem ser levada até a estação.

Pessoal, desculpe a intromissão, até porque o post é antigo, mas há uma maneira mais fácil de resolver esse problema, pelo menos com menos cálculos.
Segundo o Princípio de Fermat, a luz percorre, entre dois pontos, a trajetória a qual gaste o menor tempo possível, e não a menor distância possível; o que, na grande maioria dos casos, é a "mesma coisa". Então, segundo a imagem abaixo:

https://2img.net/r/ihimg/photo/my-images/826/jp6s.jpg/

Pode-se pensar (olhando a imagem de "cabeça pra baixo", se ajudar) um raio de luz, vindo de B, o qual está num meio de índice de refração n1, "tentando" passar, pelo ponto C, a um outro meio de índice de refração n2, de modo que n1 > n2. Se você adotar a velocidade do trem (48km/h), como referencial, então n1 = 12/48 = 4, e n2 = 48/48 = 1.
Porém, o dado raio de luz, não atravessa para o outro meio; ele quase sofre uma "reflexão total" em C, de modo que fique rasante ao "dioptro" (como se fosse, por exemplo, de uma piscina para o ar). Portanto, traçando a normal em C, obtém o ângulo limite k, ou seja:
senk = n2/n1 = 1/4; e pela relação fundamental, cosk = [(15)^1/2]/4
portanto, tgk = senk/cosk = [(15)^1/2]/15
Como a normal e o segmento de reta BD são paralelas, então CBD também é k, como mostra o desenho, assim: (sendo CD = x)
x/20 = [(15)^1/2]/15 --> x = 5,16


E o que o Princípio de Fermat tem a ver com isso, é que se o percurso AC e CB, como pede o problema, fosse percorrido pela luz, considerando os supostos aspectos já descritos, ela faria o trajeto no menor tempo possível, que é a grande "dificuldade" a se considerar para chegar nesse valor de "x".

Davi

.Certamente é uma maneira interessante de se resolver a questão, diferente das apresentadas até agora.