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Mensagem por Elcioschin Seg 24 Jan 2011, 01:29

Relembrando a primeira mensagem :

Num ponto A de uma estrada de ferro retilinea existe uma cidade A.
Considere um ponto D da estrada, distante a da cidade A. Distante 20 km deste ponto D, medido perpendicularmente à via férrea, existe um povoado B.
Quer-se construir uma estação C na estrada de ferro, entre A e D e dalí construir uma estrada de terra até o povoado B.
Qual deve ser a distância CD, para que a viagem de A até C por trem e de C até B por terra leve o mínimo tempo.
Deve-se desprezar o tempo de baldeação em C e levar que conta que a velocidade do trem é 48 km/h e por estrada de rodagem (péssima) é 12 km/h. Discuta posteriormente a resposta em função da distância a.

Sol.: CD ~= 5,16 km


Última edição por Elcioschin em Seg 24 Jan 2011, 23:23, editado 1 vez(es)
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Mensagem por Elcioschin Qua 26 Jan 2011, 02:21

Vladimir/Vinicius

É uma ferramenta poderossísima: é a base de todo o cálculo de nível superior e serve de apoio para a Física, Química, Engenharia, Economia, Astronomia, etc.

Apenas para ilustrar o que o Euclides falou:

Equação do espaço percorrido no MRUV ----> S(t) = So + Vo*t + (1/2)*a*t² ----> Fórmula básica.

Regras básicas de derivação:

1) Derivada de uma constante é zero (Uma função constante é paralela ao eixo X logo, a reta tangente também é. Neste caso a tangente trigonométrica desta reta vale 0)

2) Derivada de uma função f(x) = x é f'(x) = 1 (Era uma coisa de se esperar, pois a função é uma reta que forma 45º com o eixo X; neste caso a reta tangente à função é a própria reta da função e tg45º = 1)

3) Derivada do produto de uma constante (Vo) por uma variável (t) é o produto da constante pela derivada da variável:

f(t) = Vo*t ----> f'(t) = Vo*1 ----> f'(t) = Vo

4) Derivada de uma variável (t) elevada ao expoente 2 (t²) é o produto do expoente (2) pela variável):

f(t) = (1/2)*a*t² -----> (1/2) , a constantes ----> f'(t) = (1/2)*a*(2*t) ----> f'(t) = a*t

A derivada da função S(t) vale portanto ----> S'(t) = Vo + a*t

Vejam só: A derivada da função espaço percorrrido nada mais é a função VELOCIDADE, fórmula tão conhecida.

Um exercício para vocês: Derivem agora a função velocidade, usando as regras básicas acima.

A que conclusão vocês conseguem chegar sobre a derivada segunda ----> f"(x) ?

Quanto ao exercício que eu postei no tópico, embora dê mais trabalho, é perfeitamente possível resolvê-lo com matemática do Ensino Médio)

O Vinicius já equacionou corretamente o problema; faltou apenas continuar, recorrendo à velha álgebra.

Tentem!
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Mensagem por WladimirC Qua 26 Jan 2011, 02:30

f"(x)= a, mostrando que a aceleração em um MRUV é constante! :bom: Sensacional. Então para derivar uma função polinomial você analisa cada membro da função e, por fim, soma as derivadas de cada monômio...
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Mensagem por Elcioschin Qua 26 Jan 2011, 12:23

Sim.

E mais uma dica:

f(x) = x^n -----> f '(x) = n*x^(n - 1) ----> valido para qualver valor de n, inclusive n fracionario.
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Mensagem por WladimirC Qua 26 Jan 2011, 18:47

Elcioschin escreveu:Sim.

E mais uma dica:

f(x) = x^n -----> f '(x) = n*x^(n - 1) ----> valido para qualver valor de n, inclusive n fracionario.


É válido para qualquer função polinomial?
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Mensagem por Elcioschin Qua 26 Jan 2011, 20:29

Sim, é válido para qualquer função polinomial.

Deve ficar claro porém o seguinte:

1) É possível derivar qualquer função em qualquer dos seus pontos, desde que nestes pontos a função seja contínua (funções polinomiais, funções logarítmicas, funções exponenciais, funções trigonométricas, funções hiperbólicas, etc.)

Exemplo de função não derivável em todos os seus pontos: a função f(x) = tgx não é derivável nos pontos x = k*pi/2

Você consegue dizer porque?

2) O que você aprendeu até agora foi apenas conhecer algumas regras de derivação. A parte mais importante é o porquê destas regras.
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Mensagem por WladimirC Qua 26 Jan 2011, 20:46

Olha Mestre Élcio, é meio intuitivo para mim afirmar que não existirá derivada em um ponto que não existe no domínio. Mas o pouco que eu li de derivadas (depois que você começou a me atiçar) é que são limites que trabalham com tendências de um lado e do outro. Pelo gráfico da função tangente não há tendência dos dois lados se aproximarem em um único ponto, quando x tende a pi/2. Agora eu não sei se pode existir derivada em um ponto que não faça parte do domínio. Também não sei se pode haver limite quando x tende a um ponto que não faça parte do domínio.
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Mensagem por Elcioschin Qua 26 Jan 2011, 23:13

Wladimir

Resumindo o que você disse, em outras palavras:

Para x = k*(pi/2) a função f(x) = tgx NÃO é contínua, pois para x um pouco menor do que pi/2 a função tende para + infinito e para x um pouco maior o que pi/2 a função tende para - infinito (o mesmo vale para 3pi/2)..
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Mensagem por WladimirC Qua 26 Jan 2011, 23:15

Correto...
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Mensagem por Euclides Sex 28 Jan 2011, 20:33

Olá Convidado, se você está interessado em estudar Limites e derivadas (aproveitando as férias) e conhece inglês básico (só leitura) experimente o site do link abaixo que tem um estudo dirigido muito bom, passo-a-passo, com exemplos e exercícios resolvidos.

http://www.intmath.com/Differentiation/Differentiation-intro.php

eu já estudei equações diferenciais nesse local.

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Mensagem por Jose Carlos Sex 28 Jan 2011, 20:45

Obrigado pela dica, vou olhar com atenção.


Abração.
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