A viagem mais rápida
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Viniciuscoelho
Elcioschin
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PiR2 :: Matemática :: Álgebra
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A viagem mais rápida
Relembrando a primeira mensagem :
Num ponto A de uma estrada de ferro retilinea existe uma cidade A.
Considere um ponto D da estrada, distante a da cidade A. Distante 20 km deste ponto D, medido perpendicularmente à via férrea, existe um povoado B.
Quer-se construir uma estação C na estrada de ferro, entre A e D e dalí construir uma estrada de terra até o povoado B.
Qual deve ser a distância CD, para que a viagem de A até C por trem e de C até B por terra leve o mínimo tempo.
Deve-se desprezar o tempo de baldeação em C e levar que conta que a velocidade do trem é 48 km/h e por estrada de rodagem (péssima) é 12 km/h. Discuta posteriormente a resposta em função da distância a.
Sol.: CD ~= 5,16 km
Num ponto A de uma estrada de ferro retilinea existe uma cidade A.
Considere um ponto D da estrada, distante a da cidade A. Distante 20 km deste ponto D, medido perpendicularmente à via férrea, existe um povoado B.
Quer-se construir uma estação C na estrada de ferro, entre A e D e dalí construir uma estrada de terra até o povoado B.
Qual deve ser a distância CD, para que a viagem de A até C por trem e de C até B por terra leve o mínimo tempo.
Deve-se desprezar o tempo de baldeação em C e levar que conta que a velocidade do trem é 48 km/h e por estrada de rodagem (péssima) é 12 km/h. Discuta posteriormente a resposta em função da distância a.
Sol.: CD ~= 5,16 km
Última edição por Elcioschin em Seg 24 Jan 2011, 23:23, editado 1 vez(es)
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 73175
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Idade : 78
Localização : Santos/SP
Re: A viagem mais rápida
Vladimir/Vinicius
É uma ferramenta poderossísima: é a base de todo o cálculo de nível superior e serve de apoio para a Física, Química, Engenharia, Economia, Astronomia, etc.
Apenas para ilustrar o que o Euclides falou:
Equação do espaço percorrido no MRUV ----> S(t) = So + Vo*t + (1/2)*a*t² ----> Fórmula básica.
Regras básicas de derivação:
1) Derivada de uma constante é zero (Uma função constante é paralela ao eixo X logo, a reta tangente também é. Neste caso a tangente trigonométrica desta reta vale 0)
2) Derivada de uma função f(x) = x é f'(x) = 1 (Era uma coisa de se esperar, pois a função é uma reta que forma 45º com o eixo X; neste caso a reta tangente à função é a própria reta da função e tg45º = 1)
3) Derivada do produto de uma constante (Vo) por uma variável (t) é o produto da constante pela derivada da variável:
f(t) = Vo*t ----> f'(t) = Vo*1 ----> f'(t) = Vo
4) Derivada de uma variável (t) elevada ao expoente 2 (t²) é o produto do expoente (2) pela variável):
f(t) = (1/2)*a*t² -----> (1/2) , a constantes ----> f'(t) = (1/2)*a*(2*t) ----> f'(t) = a*t
A derivada da função S(t) vale portanto ----> S'(t) = Vo + a*t
Vejam só: A derivada da função espaço percorrrido nada mais é a função VELOCIDADE, fórmula tão conhecida.
Um exercício para vocês: Derivem agora a função velocidade, usando as regras básicas acima.
A que conclusão vocês conseguem chegar sobre a derivada segunda ----> f"(x) ?
Quanto ao exercício que eu postei no tópico, embora dê mais trabalho, é perfeitamente possível resolvê-lo com matemática do Ensino Médio)
O Vinicius já equacionou corretamente o problema; faltou apenas continuar, recorrendo à velha álgebra.
Tentem!
É uma ferramenta poderossísima: é a base de todo o cálculo de nível superior e serve de apoio para a Física, Química, Engenharia, Economia, Astronomia, etc.
Apenas para ilustrar o que o Euclides falou:
Equação do espaço percorrido no MRUV ----> S(t) = So + Vo*t + (1/2)*a*t² ----> Fórmula básica.
Regras básicas de derivação:
1) Derivada de uma constante é zero (Uma função constante é paralela ao eixo X logo, a reta tangente também é. Neste caso a tangente trigonométrica desta reta vale 0)
2) Derivada de uma função f(x) = x é f'(x) = 1 (Era uma coisa de se esperar, pois a função é uma reta que forma 45º com o eixo X; neste caso a reta tangente à função é a própria reta da função e tg45º = 1)
3) Derivada do produto de uma constante (Vo) por uma variável (t) é o produto da constante pela derivada da variável:
f(t) = Vo*t ----> f'(t) = Vo*1 ----> f'(t) = Vo
4) Derivada de uma variável (t) elevada ao expoente 2 (t²) é o produto do expoente (2) pela variável):
f(t) = (1/2)*a*t² -----> (1/2) , a constantes ----> f'(t) = (1/2)*a*(2*t) ----> f'(t) = a*t
A derivada da função S(t) vale portanto ----> S'(t) = Vo + a*t
Vejam só: A derivada da função espaço percorrrido nada mais é a função VELOCIDADE, fórmula tão conhecida.
Um exercício para vocês: Derivem agora a função velocidade, usando as regras básicas acima.
A que conclusão vocês conseguem chegar sobre a derivada segunda ----> f"(x) ?
Quanto ao exercício que eu postei no tópico, embora dê mais trabalho, é perfeitamente possível resolvê-lo com matemática do Ensino Médio)
O Vinicius já equacionou corretamente o problema; faltou apenas continuar, recorrendo à velha álgebra.
Tentem!
Elcioschin- Grande Mestre
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Re: A viagem mais rápida
f"(x)= a, mostrando que a aceleração em um MRUV é constante! :bom: Sensacional. Então para derivar uma função polinomial você analisa cada membro da função e, por fim, soma as derivadas de cada monômio...
WladimirC- Recebeu o sabre de luz
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Idade : 33
Localização : Guarujá, brasil
Re: A viagem mais rápida
Sim.
E mais uma dica:
f(x) = x^n -----> f '(x) = n*x^(n - 1) ----> valido para qualver valor de n, inclusive n fracionario.
E mais uma dica:
f(x) = x^n -----> f '(x) = n*x^(n - 1) ----> valido para qualver valor de n, inclusive n fracionario.
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 73175
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Idade : 78
Localização : Santos/SP
Re: A viagem mais rápida
Elcioschin escreveu:Sim.
E mais uma dica:
f(x) = x^n -----> f '(x) = n*x^(n - 1) ----> valido para qualver valor de n, inclusive n fracionario.
É válido para qualquer função polinomial?
WladimirC- Recebeu o sabre de luz
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Re: A viagem mais rápida
Sim, é válido para qualquer função polinomial.
Deve ficar claro porém o seguinte:
1) É possível derivar qualquer função em qualquer dos seus pontos, desde que nestes pontos a função seja contínua (funções polinomiais, funções logarítmicas, funções exponenciais, funções trigonométricas, funções hiperbólicas, etc.)
Exemplo de função não derivável em todos os seus pontos: a função f(x) = tgx não é derivável nos pontos x = k*pi/2
Você consegue dizer porque?
2) O que você aprendeu até agora foi apenas conhecer algumas regras de derivação. A parte mais importante é o porquê destas regras.
Deve ficar claro porém o seguinte:
1) É possível derivar qualquer função em qualquer dos seus pontos, desde que nestes pontos a função seja contínua (funções polinomiais, funções logarítmicas, funções exponenciais, funções trigonométricas, funções hiperbólicas, etc.)
Exemplo de função não derivável em todos os seus pontos: a função f(x) = tgx não é derivável nos pontos x = k*pi/2
Você consegue dizer porque?
2) O que você aprendeu até agora foi apenas conhecer algumas regras de derivação. A parte mais importante é o porquê destas regras.
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 73175
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Idade : 78
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Re: A viagem mais rápida
Olha Mestre Élcio, é meio intuitivo para mim afirmar que não existirá derivada em um ponto que não existe no domínio. Mas o pouco que eu li de derivadas (depois que você começou a me atiçar) é que são limites que trabalham com tendências de um lado e do outro. Pelo gráfico da função tangente não há tendência dos dois lados se aproximarem em um único ponto, quando x tende a pi/2. Agora eu não sei se pode existir derivada em um ponto que não faça parte do domínio. Também não sei se pode haver limite quando x tende a um ponto que não faça parte do domínio.
WladimirC- Recebeu o sabre de luz
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Localização : Guarujá, brasil
Re: A viagem mais rápida
Wladimir
Resumindo o que você disse, em outras palavras:
Para x = k*(pi/2) a função f(x) = tgx NÃO é contínua, pois para x um pouco menor do que pi/2 a função tende para + infinito e para x um pouco maior o que pi/2 a função tende para - infinito (o mesmo vale para 3pi/2)..
Resumindo o que você disse, em outras palavras:
Para x = k*(pi/2) a função f(x) = tgx NÃO é contínua, pois para x um pouco menor do que pi/2 a função tende para + infinito e para x um pouco maior o que pi/2 a função tende para - infinito (o mesmo vale para 3pi/2)..
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 73175
Data de inscrição : 15/09/2009
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Re: A viagem mais rápida
Correto...
WladimirC- Recebeu o sabre de luz
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Data de inscrição : 13/01/2011
Idade : 33
Localização : Guarujá, brasil
Re: A viagem mais rápida
Olá Convidado, se você está interessado em estudar Limites e derivadas (aproveitando as férias) e conhece inglês básico (só leitura) experimente o site do link abaixo que tem um estudo dirigido muito bom, passo-a-passo, com exemplos e exercícios resolvidos.
http://www.intmath.com/Differentiation/Differentiation-intro.php
eu já estudei equações diferenciais nesse local.
http://www.intmath.com/Differentiation/Differentiation-intro.php
eu já estudei equações diferenciais nesse local.
____________________________________________
In memoriam - Euclides faleceu na madrugada do dia 3 de Abril de 2018.
Lembre-se de que os vestibulares têm provas de Português também! Habitue-se a escrever corretamente em qualquer circunstância!
O Universo das coisas que eu não sei é incomensuravelmente maior do que o pacotinho de coisas que eu penso que sei.
Euclides- Fundador
- Mensagens : 32508
Data de inscrição : 07/07/2009
Idade : 74
Localização : São Paulo - SP
Re: A viagem mais rápida
Obrigado pela dica, vou olhar com atenção.
Abração.
Abração.
Jose Carlos- Grande Mestre
- Mensagens : 5551
Data de inscrição : 08/07/2009
Idade : 74
Localização : Niterói - RJ
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