Otimização

por **Gabriel Cluchite** Dom 08 maio 2016, 17:22

O canto superior direito de um pedaço de papel com 30cm de largura por 20cm de comprimento é dobrado sobre o lado direito, como na figura. Como você dobraria de forma a minimizar o comprimento da dobra? Em outras palavras, como você escolheria x para minimizar y?

Otimização BuzwIDv

Embora esse exercício envolva derivadas, a minha dificuldade é achar uma relação entre x e y usando as informações dadas. Se alguém puder ajudar, ficarei grato o/

por **rodrigoneves** Dom 08 maio 2016, 18:15

O segmento AC mede x porque, na verdade, trata-se do mesmo segmento (pense no papel sendo dobrado).
Teorema de Pitágoras no triângulo ABC:
\\ x^2 = b^2 + (20 - x)^2 = b^2 + x^2 - 40x + 400 \Rightarrow b^2 = 40x - 400 = 4(10x - 100) \\ \therefore b = 2\sqrt{10x-100}
Os ângulos assinalados em vermelho são congruentes por terem lados perpendiculares. Assim, os triângulos retângulos ABC e ADE são semelhantes (caso AAA).
Portanto, teremos a proporção: (cateto adjacente/hipotenusa)
\\ \frac{20}{a} = \frac{b}{x} \Rightarrow a = \frac{20x}{b} = \frac{20x}{2\sqrt{10x-100}} \\ \therefore a = \frac{10x}{\sqrt{10x-100}}
Agora virou brincadeira de criança. Very Happy

\\ y^2 = x^2 + a^2 = x^2 + \left( \frac{10x}{\sqrt{10x-100}}\right) ^2 = \frac{100x^2}{10x-100} + x^2 = \frac{100x^2 + 10x^3 - 100x^2}{10x-100} = \frac{10x^3}{10x-100} = \frac{x^3}{x-10} \\ \therefore \boxed{y = \sqrt{\frac{x^3}{x-10}} }
Me parece um pouco trabalhoso derivar essa "coisa", mas por derivação implícita resolvemos!!
\\ y^2 = \frac{x^3}{x-10} \Rightarrow x^3 = (x-10)y^2 \Rightarrow 3x^2 = 1\cdot y^2 + (x-10)\cdot 2y \cdot y' \Rightarrow 2(x-10)yy' = 3x^2-y^2 \Rightarrow y' = \frac{3x^2 - y^2}{2(x-10)y} \\ y' = 0 \Leftrightarrow 3x^2 - y^2 = 0 \Rightarrow y^2 = 3x^2 \therefore 3x^2 = \frac{x^3}{x-10} \Rightarrow 3 = \frac{x}{x-10} \Rightarrow \\ x = 3x - 30 \Rightarrow x = 15

por **Gabriel Cluchite** Dom 08 maio 2016, 19:13

Valeu Rodrigo!! Muito bonita sua resolução o/

por **rodrigoneves** Dom 08 maio 2016, 19:37

Obrigado!

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