Progressao geometrica duvida exercicio feito

por renanfelipe Dom 01 maio 2016, 21:48

(PUC-PR) O valor de x na equação abaixo é:
1+ 3+ 3² + 3³ + ... 3^x - 9841 = 0
A) 8
B) 9
C) 10
D) 7
E) 15
Solução:
1 + 3 + 3² + 3³ + ... 3^x - 9841 = 0
3⁰ + 3 + 3² + 3³ + ... 3^x = 9841

Observe que o lado esquerdo da igualdade corresponde à soma dos termos de uma PG cuja razão é q = 3.

A fórmula da soma de uma PG é dada por:
Sn = a₁(q^n - 1)/(q - 1)

Então, usando a fórmula acima, obtemos:
(3^(x + 1) - 1)/(3 - 1) = 9841
3^(x + 1) = 19683

Decompondo 19683, obtemos que: 19683 = 3⁹. Logo:
3^(x + 1) = 3⁹
x + 1 = 9
x = 8 (RESPOSTA "A")
PESSOAL ,PORQUE ele pôs 3^(x+1) ao invés de 3^(x-1) ?

por **ivomilton** Dom 01 maio 2016, 22:08

renanfelipe escreveu:(PUC-PR) O valor de x na equação abaixo é:
1+ 3+ 3² + 3³ + ... 3^x - 9841 = 0
A) 8
B) 9
C) 10
D) 7
E) 15
Solução:
1 + 3 + 3² + 3³ + ... 3^x - 9841 = 0
3⁰ + 3 + 3² + 3³ + ... 3^x = 9841

Observe que o lado esquerdo da igualdade corresponde à soma dos termos de uma PG cuja razão é q = 3.

A fórmula da soma de uma PG é dada por:
Sn = a₁(q^n - 1)/(q - 1)

Então, usando a fórmula acima, obtemos:
(3^(x + 1) - 1)/(3 - 1) = 9841
3^(x + 1) = 19683

Decompondo 19683, obtemos que: 19683 = 3⁹. Logo:
3^(x + 1) = 3⁹
x + 1 = 9
x = 8 (RESPOSTA "A")
PESSOAL ,PORQUE ele pôs 3^(x+1) ao invés de 3^(x-1) ?

Boa noite, Renan.

3⁰ + 3¹ + 3² + 3³ + ... 3^x = 9841

Observe que o número de termos (n) da PG acima é x+1, porque é igual a:
0, 1, 2, 3, ... , 3^x.

Do expoente 1 ao expoente x são x termos. Mas temos que contar também o expoente zero (0), de modo que todos os termos da PG são x+1.

Um abraço.

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