Divisão de segmento na razão dada

por **Ashitaka** Sáb 16 Abr 2016, 18:53

Num segmento AB toma-se C tal que AB/AC = 2BC/AB. Calcule BC/AB.

Gab. oficial:

por **Elcioschin** Sáb 16 Abr 2016, 19:33

Existem 3 possibilidades

1) C entre A e B

A ......... x ........ C .......... y ............ B

AB/AC = 2.BC/AB ---> (x + y)/x = 2.y/(x + y) ---> (x + y)² = 2.x.y --->

x² + y² = 0 ---> Impossível

2) C à direita de B

A ......... n ............ B ........... p ........ C

AB/AC = 2.BC/AB ---> n/(n + p) = 2.p/n --> n² - 2.n.p - 2.p² = 0

n = p.(1 + √3) ---> p/n = 1/(√3 + 1) ---> p/n = (√3 - 1)/2 ---> BC/AB = (√3 - 1)/2

3) C à esquerda de A ---> dá o mesmo resultado

por **Ashitaka** Sáb 16 Abr 2016, 19:34

Valeu, Elcioschin; seguindo à risca o enunciado, estava com o problema 1) ali.

por **CaiqueF** Sáb 16 Abr 2016, 19:39

por **Euclides** Sáb 16 Abr 2016, 19:40

Divisão de segmento na razão dada Imagem1

C entre A e B

$\\AB=x_B,\;\;\;\;\;AC=x_C,\;\;\;BC=x_B-x_C\\\\\frac{x_B}{x_C}=\frac{2(x_B-x_C)}{x_B}\;\;\;\to\;\;x_B^2=2x_Bx_C-x_C^2 \\\\\boxed{x^2_B-2x_Bx_C+x_C^2\to\;\;x_B=2x_C}\\\\\\\frac{BC}{AB}=\frac{x_C}{2x_C}=\frac{1}{2}$

por **CaiqueF** Sáb 16 Abr 2016, 19:42

Bem que tinha desconfiado que considerar BC = -CB era acoxambrar.
Minha resolução só deu certo pq fazendo isso eu considerei o C fora do segmento AB

por **Ashitaka** Sáb 16 Abr 2016, 19:53

Euclides escreveu:

C entre A e B

$\\AB=x_B,\;\;\;\;\;AC=x_C,\;\;\;BC=x_B-x_C\\\\\frac{x_B}{x_C}=\frac{2(x_B-x_C)}{x_B}\;\;\;\to\;\;x_B^2=2x_Bx_C-x_C^2 \\\\\boxed{x^2_B-2x_Bx_C+x_C^2\to\;\;x_B=2x_C}\\\\\\\frac{BC}{AB}=\frac{x_C}{2x_C}=\frac{1}{2}$

Euclides, resolvendo a equação ali dá x_b = x_c.O jeito deve ser considerar fora mesmo. Enunciado problemático.
Obrigado, pessoal.