Fórum PiR2
Gostaria de reagir a esta mensagem? Crie uma conta em poucos cliques ou inicie sessão para continuar.

Progressões e Séries 2

2 participantes

Ir para baixo

Progressões e Séries 2 Empty Progressões e Séries 2

Mensagem por Ahela Sab 09 Abr 2016, 10:53

Ache o 79º termo da série : (1,4,11,26,57,...)
Pelo que entendi a razão também muda, a do próximo termo é sempre o dobro da anterior mais um.
(d1=3 : d2=3*2+1=7 : d3=d2*2+1 : ... )
mas não consegui achar uma relação entre o numero do termo, a razão o termo anterior.
Agradeço desde já.

Ahela
iniciante

Mensagens : 13
Data de inscrição : 25/12/2015
Idade : 21
Localização : São Paulo

Ir para o topo Ir para baixo

Progressões e Séries 2 Empty Re: Progressões e Séries 2

Mensagem por poisedom Qui 02 Jun 2016, 16:06

Observe cada termo da sequência (1,4,11,26,57,...) é igual ao dobro do anterior adicionado de sua posição.
ou seja
a_k=2a_{k-1}+k  ...(1)
observe
a_1=1
a_2=2a_1+2=2\cdot1+2=2+2=4
a_3=2a_2+3=2\cdot4+3=8+3=11
a_4=2a_3+4=2\cdot11+4=22+4=26
a_5=2a_4+5=2\cdot26+5=52+5=57.

Agora a diferença entre cada termo é

a_2-a_1=4-1=3 = 2^2-1
a_3-a_2=11-4=7 = 2^3-1
a_4-a_3=26-11=15 = 2^4-1
a_5-a_4=57-26=31 = 2^5-1
.
.
.
a_k-a_{k-1}=2^k-1  \Rightarrow a_k=2^k-1+a_{k-1}   ...(2)

Igualando (1) e (2)

2a_{k-1}+k=2^k-1+a_{k-1}
2a_{k-1}-a_{k-1}=2^k-k-1
a_{k-1}=2^k-k-1

Fazendo
k=n+1 temos

a_{n+1-1}=2^{n+1}-(n+1)-1

a_n=2^{n+1}-n-1-1

a_n=2^{n+1}-n-2

observe

a_1=2^2-1-2=4-3=1
a_2=2^3-2-2=8-4=4
a_3=2^4-3-2=16-5=11
a_4=2^5-4-2=32-6=26
a_5=2^6-5-2=64-7=57

assim

a_{79}=2^{80}-79-2=2^{80}-81

poisedom
Padawan
Padawan

Mensagens : 56
Data de inscrição : 26/05/2016
Idade : 55
Localização : Brasil

Ir para o topo Ir para baixo

Ir para o topo


 
Permissões neste fórum
Você não pode responder aos tópicos