Progressões e Séries 2

por Ahela Sáb 09 Abr 2016, 10:53

Ache o 79º termo da série : (1,4,11,26,57,...)
Pelo que entendi a razão também muda, a do próximo termo é sempre o dobro da anterior mais um.
(d1=3 : d2=3*2+1=7 : d3=d2*2+1 : ... )
mas não consegui achar uma relação entre o numero do termo, a razão o termo anterior.
Agradeço desde já.

por poisedom Qui 02 Jun 2016, 17:06

Observe cada termo da sequência (1,4,11,26,57,...) é igual ao dobro do anterior adicionado de sua posição.
ou seja
a_k=2a_{k-1}+k ...(1)
observe
a_1=1
a_2=2a_1+2=2\cdot1+2=2+2=4
a_3=2a_2+3=2\cdot4+3=8+3=11
a_4=2a_3+4=2\cdot11+4=22+4=26
a_5=2a_4+5=2\cdot26+5=52+5=57.

Agora a diferença entre cada termo é

a_2-a_1=4-1=3 = 2^2-1
a_3-a_2=11-4=7 = 2^3-1
a_4-a_3=26-11=15 = 2^4-1
a_5-a_4=57-26=31 = 2^5-1
.
.
.
a_k-a_{k-1}=2^k-1 \Rightarrow a_k=2^k-1+a_{k-1} ...(2)

Igualando (1) e (2)

2a_{k-1}+k=2^k-1+a_{k-1}
2a_{k-1}-a_{k-1}=2^k-k-1
a_{k-1}=2^k-k-1

Fazendo
k=n+1 temos

a_{n+1-1}=2^{n+1}-(n+1)-1

a_n=2^{n+1}-n-1-1

a_n=2^{n+1}-n-2

observe

a_1=2^2-1-2=4-3=1
a_2=2^3-2-2=8-4=4
a_3=2^4-3-2=16-5=11
a_4=2^5-4-2=32-6=26
a_5=2^6-5-2=64-7=57

assim

a_{79}=2^{80}-79-2=2^{80}-81

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