Custo de construção

por VieiraSp Dom 27 Mar 2016, 21:59

Queremos construir uma caixa cujo comprimento da base é 7 vezes a largura da base. O material utilizado para construir a parte superior e inferior custa R$7.2 o m² e o material utilizado para a construção do lados custa R$4.6 o m². Se a caixa deve ter um volume de 1000m³ determine qual o custo mínimo para essa caixa.

por **Baltuilhe** Seg 28 Mar 2016, 18:40

Boa noite!

Dimensões da base, altura y e volume V fixo em 1000 metros cúbicos:
\\C=7x\\L=x\\V=(7x^2)y=1000

Área parte superior e inferior, 7,20/m^2, laterais 4,60/m^2

Área do fundo e tampa:
\\7x^2

Área lateral:
\\2(7xy+xy)=16xy

Custo para produzir a caixa:
\\7,2(7x^2)+4,6(16xy)=50,4x^2+73,6xy

Agora, vamos isolar do volume o 'y':
\\(7x^2)y=1000\\y=\frac{1000}{7x^2}

Agora, substituir na função que nos dá o custo:
\\C(x)=50,4x^2+73,6x\frac{1000}{7x^2}=50,4x^2+\frac{73600}{7x}

Para encontrar o custo mínimo:
\\C'(x)=100,8x-\frac{73600}{7x^2}=0\\100,8x=\frac{73600}{7x^2}\\x^3=\frac{73600}{705,6}\\x\approx{4,707313}

Agora, o custo mínimo:
\\C(4,707313)=50,4(4,707313)^2+\frac{73600}{7(4,707313)}=3\,350\,41

Espero ter ajudado!

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