Geometria Analítica

Achar as equações dos lados de um triângulo ABC,conhecendo-se um dos vértices A(3,-1),bem como as equações de uma bissetriz x-4y+10=0 e de uma mediana 6x+10y-59=0

Olá , 
Inicialmente vamos testar o ângulo A tanto na equação da mediana quanto da bissetriz para podermos ver se essas cevianas são deste vértice.
Para a analise , colocamos o valor da abcissa desse vertice e caso de o valor da sua ordenada o ponto pertence a essa ceviana.
Fazendo tal teste , percebemos que não , não é um ponto dessas cevianas.
E caso testemos as equações com um x genérico ambas não dão o mesmo valor para a ordenada.
Disso concluímos que a mediana é traçada de um vértice B, a bissetriz é traçada de um vértice C e temos as coordenadas do vértice A.
Inicialmente verificamos a equação da mediana , 6x+10y-59=0.
Essa mediana irá encontrar o segmento AC no seu ponto medio , logo por C passa a equação da bissetriz x-4y+10=0 , supondo que a ordenada do ponto C seja y , a abcissa de acordo com a equação deverá ser 4y-10.
Então o ponto medio do segmento AC é só fazer xa+xc/2 e a ordenada ya+yc/2 , e substituindo na equação da mediana encontramos y (ordenada de C) =5
Logo a abcissa será 10, então temos C(10,5).

Desenhando o triângulo e traçando a bissetriz por C é denominando o ponto de encontro da bissetriz traçada por C é o segmento AB , de ponto D.
Analisamos então o triângulo ACD e DCB.

Pela formula do calculo da tangente do menor ângulo entre duas retas por 
tg (theta)=|mr-ms/1-mr.ms| e sendo
mr-> coeficiente angular da reta r
ms-> coeficiente angular da reta s.

Como CD e a bissetriz do triângulo ABC , temos que ela divide o ângulo em dois iguais , chamados então de (theta) .

Conhecemos o coeficiente da reta suporte de AC, pois conhecemos os dois vertices tanto A como C , o seu cálculo nos dá um coeficiente de 6/7.
Sabemos o coeficiente da bissetriz dada no enunciado 1/4 , logo pela fórmula do calculo da tangente formada por duas retas podemos encontrar (theta) , substituindo na fórmula temos que a tg(theta)=1/2.

Agora podemos reescrever o vértice B juntamente com a equação da mediana como sendo B(x;59-6x/10) , utilizando a formula do calculo da tangente do ângulo entre as retas encontramos uma razão em módulo em função de x( abcissa de B) igual a 1/2 , pois forma um ângulo igual a (theta) entre as duas retas ( a reta suporte de CB e a bissetriz por C do triângulo ABC).
Devemos entao satisfazer a parte do módulo , observando o intervalo que o satisfaz.
Calculando o valor de x=13/2 , logo y=2.

Logo os vértices do triângulo ABC são 
A(3,-1) ; B(13/2;2) C(10;5)