preço a prazo e a vista

por **leozinho** Ter 15 Mar 2016, 02:17

A diferença entre o preço à vista e o preço a prazo de uma mercadoria deve-se aos juros. Se o preço à vista é de R$ 52,00, e o preço a prazo, para 5 prestações mensais, é de R$ 78,00, qual é a taxa de juros cobrada ao mês? A) 10% B) 13,3% D) 60% C) 71,3% E) 11%

por **Baltuilhe** Ter 15 Mar 2016, 08:02

Bom dia!

Para o cálculo da taxa de juros nem sempre é possível seu cálculo direto. Neste caso específico pode-se obter a taxa através de uma planilha eletrônica, calculadora financeira, utilizando-se de uma tabela com valores pré-calculados, usando-se algum método numérico para resolver a equação ou na tentativa e erro, mesmo.
Vou deixar montada a equação e deixarei sua resposta, ok:
$\\PV=PMT\cdot\left[\frac{1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}\right]\\ 52=\frac{78}{5}\cdot\left[\frac{1-\left(1+i\right)^{-5}}{i}\right]\\ 52=15,6\cdot\left[\frac{1-\left(1+i\right)^{-5}}{i}\right]\\ \frac{1-\left(1+i\right)^{-5}}{i}=\frac{52}{15,6}\\ \frac{1-\left(1+i\right)^{-5}}{i}\approx{3,33333}\\ i\approx{15,24\%}$

Não consegui obter nenhuma das taxas que constam nas respostas.
No caso, se utilizar o desconto simples comercial encontraremos a taxa de 11%, mas essa modalidade não nos entrega nem a taxa efetiva mensal, nem seria um método interessante para utilizar para cálculo de prestações.

Espero ter ajudado!

por **ivomilton** Ter 15 Mar 2016, 22:42

leozinho escreveu:A diferença entre o preço à vista e o preço a prazo de uma mercadoria deve-se aos juros. Se o preço à vista é de R$ 52,00, e o preço a prazo, para 5 prestações mensais, é de R$ 78,00, qual é a taxa de juros cobrada ao mês? A) 10% B) 13,3% D) 60% C) 71,3% E) 11%

Boa noite, leozinho.

M = C(1 + n.i)
78 = 52(1 + 5i)
1 + 5i = 78/52 = 1,5
5i = 1,5 - 1 = 0,5
i = 0,5/5 = 0,1
i% = 0,1 * 100
i% = 10% a.m.

Alternativa (A)

Um abraço.

por **Baltuilhe** Ter 15 Mar 2016, 23:09

Ivomilton, boa noite!

A operação realizada não é para 5 prestações... ou podemos interpretar assim também?

Abraços!

por **ivomilton** Qua 16 Mar 2016, 07:13

baltuilhe escreveu:Ivomilton, boa noite!

A operação realizada não é para 5 prestações... ou podemos interpretar assim também?

Abraços!

Bom dia, baltuilhe.

Normalmente o cálculo é feito a juros compostos. Entretanto, como o texto não cita a modalidade dos juros, segui pelo caminho dos juros simples, porque muitas vezes as alternativas estão considerando juros simples, o que não é nada comum; mas acontece!

Um abraço.

por **Baltuilhe** Qua 16 Mar 2016, 08:13

Bom dia, Ivomilton!

Mesmo assim, com relação à operação empregada, esta não foi tão somente para obter um único valor (montante) após aplicado por 5 meses o valor do capital inicial? Diferentemente da pergunta que dizia 5 prestações?
A juros simples, o cálculo de prestações seria feito assim (obviamente somente com algum método numérico para obter o valor de i, bem mais complicado que o para obter o valor da taxa a juros compostos:
$\\PV=PMT\cdot\sum_{n=1}^5\left(\frac{1}{1+ni}\right)\\52=\frac{78}{5}\cdot\sum_{n=1}^5\left(\frac{1}{1+ni}\right)\\52=15,6\cdot\sum_{n=1}^5\left(\frac{1}{1+ni}\right)\\52=\frac{15,6}{1+i}+\frac{15,6}{1+2i}+\frac{15,6}{1+3i}+\frac{15,6}{1+4i}+\frac{15,6}{1+5i}\\i\approx{18,11\%}$

Abraços, Ivomilton!

por **ivomilton** Dom 20 Mar 2016, 12:47

baltuilhe escreveu:Bom dia, Ivomilton!

Mesmo assim, com relação à operação empregada, esta não foi tão somente para obter um único valor (montante) após aplicado por 5 meses o valor do capital inicial? Diferentemente da pergunta que dizia 5 prestações?
A juros simples, o cálculo de prestações seria feito assim (obviamente somente com algum método numérico para obter o valor de i, bem mais complicado que o para obter o valor da taxa a juros compostos:
$\\PV=PMT\cdot\sum_{n=1}^5\left(\frac{1}{1+ni}\right)\\52=\frac{78}{5}\cdot\sum_{n=1}^5\left(\frac{1}{1+ni}\right)\\52=15,6\cdot\sum_{n=1}^5\left(\frac{1}{1+ni}\right)\\52=\frac{15,6}{1+i}+\frac{15,6}{1+2i}+\frac{15,6}{1+3i}+\frac{15,6}{1+4i}+\frac{15,6}{1+5i}\\i\approx{18,11\%}$

Abraços, Ivomilton!

Bom dia, Baltuilhe.

Desculpe pela demora em lhe responder.
Na verdade o seu cálculo da taxa é matematicamente preciso, mas imagine se o leozinho tivesse que calcular segundo a fórmula indicada. Ele não teria condições, pois só consegui chegar à taxa de 18,1119% a.m. apelando para o wolfram, o que estaria fora de alcance do leozinho.
Por isso, acredito que problemas do tipo só poderiam ser resolvidos pelos estudantes do 2º grau, se forem conforme resolvi.
Mas muito lhe agradeço pelo esclarecimento. Tenho usado algo semelhante para encontrar o valor atual de cada prestação a juros compostos, dividindo o valor de cada prestação por (1+i), (1+i)², etc.

Um abraço.

por **Baltuilhe** Dom 20 Mar 2016, 16:15

Boa tarde, Ivomilton!

Para juros compostos, quando necessário (e se necessário, pois costumo usar uma calculadora financeira ou Excel, mesmo) uso o método de Newton-Raphson! Smile

Acho mais rápido para chegar na resposta!
Bom fim de semana! Smile

Abraços!

por **jota-r** Dom 20 Mar 2016, 18:48

Senhores, boa noite.

Fico me perguntando se o formulador desta questão não teria adotado, com relação à sua solução, o mesmo
raciocínio do amigo Ivomilton.

Será que o Leozinho não poderia informar a resposta do gabarito?

Um abraço.

por **ivomilton** Dom 20 Mar 2016, 22:05

baltuilhe escreveu:Boa tarde, Ivomilton!

Para juros compostos, quando necessário (e se necessário, pois costumo usar uma calculadora financeira ou Excel, mesmo) uso o método de Newton-Raphson! Acho mais rápido para chegar na resposta!
Bom fim de semana!

Abraços!

Boa noite, baltuilhe.

Eu aqui uso o programa financeiro Loan Calculator Plus versão 3.0.
Também uso as fórmulas do Baily Lenzi se necessário.

Tenha uma abençoada semana entrante!