Prova por indução

Use indução matemática para provar que qualquer moeda de pelo menos 12 centavos pode ser obtida apenas com moedas de 3 e 7 centavos.

Tentativa de resolução:

- Caso base: 
É óbvio que 12 C = 5 * 3C

- Passo da indução:
Podemos dividir em dois casos
a) n contém, pelo menos, 2 moedas de 3c na sua formação
Note que n + 1 = n - 2*3c + 7c

b) n contém, pelo menos, 2 moedas de 7c na sua formação
Note que n + 1 = n - 2*7c + 5*3c

Minha dúvida é apenas se a divisão de casos do passo da indução está correta

acho que o que o enunciado quer, é que qualquer moeda acima de 12 C, possa ser obtido com esses dois primos. 

SE usarmos apenas moedas de 3 centavos, há um '' buraco '' de 2 valores a cada 3. exemplo, posso obter 12, mas não 13 e 14. 

repare que o 7, é o mesmo que 2.3 +1 

ou seja. 

3.n+1=3(n-2)+7

o que essa equação significa ?

Qualquer valor maior em 1 que um múltiplo de 3 tal que m=3n+1, pode ser obtido, misturando-se n-2 moeda de 3 cents, mais uma moeda de 7 cents. 


3n-1=2.7+(n-5)3    

n>=5, portanto, o valor mínimo que eu posso obter com essa equação é 14

3n-1=2.7+(n-5)3


ou seja, qualquer valor que seja em 1 menor que um múltiplo de 3 tal que 3n-1=m

podemos formar com 2 moedas de 7 cents, + (n-5) moedas de 3.


Vale ressaltar que esse tipo de questão não é '' fácil '' ,  tem que conseguir enxergar os padrões através de vários
exemplos. 

como cheguei nas equações usadas acima ? exatamente assim:

peguei números 1 maior que 3, exemplo, 13 , e tentei enxergar um padrão que fosse igual para todos 3n+1 

13=7+6
16=7+9
19=7+12

assim enxerguei o padrão da primeira equação,

o mesmo para a segunda. 

14=2.7
17=2.7+3
19=2.7+6