PA- Prova

Prove que para todo número inteiro positivo n, existe uma sequência de n números inteiros positivos consecutivos que não contém números primos.

Contra-prova

Para n = 2 ---> 2, 3 ---> 3 é primo ---> Falso
Para n = 3 ---> 3, 4, 5 ---> 5 é primo ---> Falso


Tens certeza do enunciado?

Elcioschin escreveu:Contra-prova

Para n = 2 ---> 2, 3 ---> 3 é primo ---> Falso
Para n = 3 ---> 3, 4, 5 ---> 5 é primo ---> Falso


Tens certeza do enunciado?

O enunciado só diz que existe uma sequência qualquer de n números, não que eles devem partir de n.
Ou seja, poderia ser:
Para n = 2 ---> 20, 21.
Para n = 3 ---> 20, 21, 22.

isso me parece irreal.

seja um número M tão grande quanto se queira, de tal forma que aquilo que estiver além de M está no infinito.

Agora pensemos na existência de um número N > M.
Então N está no infinito!
Então existe uma série infinita de números Naturais consecutivos isentos de um primo em seu interior! Ou seja, a partir de um certo ponto não mais existem números primos!

Se considerar a sequência de n números:

(n+1)! + 2, (n+1)! + 3, (n+1)! + 4, ..., (n+1)! + (n+1).

Perceba que nessa sequência não tem nenhum número primo. Então tá ai, para qualquer n, temos uma sequência de n inteiros positivos consecutivos que não contém números primos.

Tem certeza, Fantecele?

S = (n+1)!+2 , (n+1)!+3 , (n+1)!+4 , ..., (n+1)!+(n+1)

n=0  ----->  S = 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , ... , (n+2)
n=1  ----->  S = 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , ... , (n+3)
n=2  ----->  S = 8 , 9 , 10 , 11, 12 , 13 , ... , (n+9)
...

há primos (em vermelho) nessas séries.

Medeiros escreveu:Tem certeza, Fantecele?

S = (n+1)!+2 , (n+1)!+3 , (n+1)!+4 , ..., (n+1)!+(n+1)

n=0  ----->  S = 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , ... , (n+2)
n=1  ----->  S = 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , ... , (n+3)
n=2  ----->  S = 8 , 9 , 10 , 11, 12 , 13 , ... , (n+9)
...

há primos (em vermelho) nessas séries.

A sequencia deve ter n números. Ou seja, quando n=2, a sequencia é 8 e 9.

Creio que a afirmação é correta.
(n+1)! certamente é multiplo de 2, somando com 2 continua multiplo de 2
(n+1)! certamente é multiplo de 3, somando com 3 continua multiplo de 3
...
(n+1)! certamente é multiplo de (n+1), somando com (n+1) continua multiplo de (n+1)

Então nenhum numero dessa sequencia de n números é primo

Valeu Caique! Não tinha atentado que a sequência tinha n elementos.

Opa, é isso mesmo, temos que considerar n números.

n = 2 : (2+1)! + 2, (2+1)! + 3
n = 3 : (3+1)! + 2, (3+1)! + 3, (3+1)! + 4
E por aí vai.

É como o CaiqueF mesmo disse, cada elemento dessa sequência vai acabar sendo múltiplo de algum número, então os elementos não vão ser primos.

agradeço ao Fantecele e novamente ao Caique, agora finalmente entendi essa construção algébrica.

mas fico pensando, se tomarmos um n mais ou menos grande, digamos n = 1 bilhão, significa que teremos uma série com pelo menos 1 bilhao de elementos onde não haverá um único número primo; ainda que o primeiro termo fique lá longe da origem zero e muitíssimo maior que o n.

e se, então, eu fizer esse número n tender ao infinito, o número de elementos da série sem primos também tenderá. Prosseguindo neste raciocínio vamos chegar à conclusão de que há infinitos dentro de infinitos e isto acarreta tremendas consequências filosóficas.

É espantoso!