Prova por indução

Olá pessoal. Estou com dificuldade para provar por indução que a igualdade abaixo é verdadeira para n >= 1.



Comecei somando (n+1)^5 e (n+1)^7 a ambos os lados da igualdade, porém não consigo reunir os termos e obter a fórmula para n+1. Imagino que expandir os binômios não seja a melhor opção. Alguém tem alguma sugestão?

Por indução , para n = 1 : 1^5 + 1^7 = 2[ 1(1+1)/2]^4  ok
Supondo válido para n :
∑i^5 + ∑i^7 = 2[n(n+1)/2]^4 , i--> 1 a n (I)
n -> n+1  :
S = ∑(i+1)^5 + ∑(i+1)^7 = 2[(n+1)(n+2)/2]^4 (tese) , i -> 1 a n+1

somando (n+1)^5 + (n+1)^7 a (I):
∑i^5 +(n+1)^5 + ∑i^7 + (n+1)^7 = 2[n(n+1)/2]^4 + (n+1)^5 + (n+1)^7 , i-> 1 a n
∑(i+1)^5 + ∑(i+1)^7 = 2([n(n+1)]^4 + 8(n+1)^5 + 8(n+1)^7 )/16 , i->1 a n+1
S = 2(n+1)^4[ n^4 + 8(n+1) + 8(n+1)³ ] / 16
S = 2(n+1)^4 [ n^4 + 8n + 8 + 8(n³ + 3n² + 3n + 1) ] / 16
S = 2(n+1)^4 [ n^4 + 8n³ + 24n² + 32n + 16 ]
da expressão do binômino de newton note que  n^4 + 8n³ + 24n² + 32n + 16 = (n+2)^4
logo S = 2[(n+1)(n+2)/2]^4 , c.q.d

Obrigado!