calcule os limites-ITA

por Menin Ter 23 Fev 2016, 13:23

Calcule os seguintes limites de funções:
a)limx→−1 (6x + 1) sen(x^2 − 1)/ x^5 − x^3

B)lim x→0+ x/cos(√ x) − 1

C)limx→0 x sen(2x)/cos(x) − 1

por **gabrieldpb** Ter 23 Fev 2016, 16:59

a)
\lim_{x\rightarrow -1}\frac{(6x+1)\sin{(x^2-1)}}{x^5-x^3}=\lim_{x\rightarrow -1}\frac{(6x+1)\sin{(x^2-1)}}{x^3(x^2-1)}=\lim_{x\rightarrow -1}\frac{6x+1}{x^3}\lim_{x\rightarrow -1}\frac{\sin{x^2-1}}{x^2-1}

Quando x→-1, u=x²-1→0. Fazendo a transformação de variáveis

\lim_{x\rightarrow -1}\frac{6x+1}{x^3}\underset{1}{\underbrace{\lim_{u\rightarrow 0}\frac{\sin u}{u}}}=\frac{6(-1)+1}{(-1)^3}=5

b)
\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{x}{\cos{\sqrt{x}}-1}=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{x}{\cos{\sqrt{x}}-1}\frac{\cos{\sqrt{x}}+1}{\cos{\sqrt{x}}+1}=\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{x(\cos\sqrt{x}+1)}{\cos^2{\sqrt{x}}-1}=

=\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{x(\cos\sqrt{x}+1)}{\cos^2{\sqrt{x}}-1}=\lim_{x\rightarrow 0^+}-(\cos\sqrt{x}+1)\frac{(\sqrt{x})^2}{\sin^2{\sqrt{x}}}=-\lim_{x\rightarrow 0^+}(\cos{\sqrt{x}+1})\left ( \lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{\sin{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \right )^{-2}

Quando x→0, u=√x→0, então temos o limite fundamental:

-\lim_{x\rightarrow 0^+}(\cos{\sqrt{x}}+1)\left ( \underset{1}{\underbrace{\lim_{u\rightarrow 0^+} \frac{\sin{u}}{u} }} \right )^{-2}=-(1+1)\cdot1^{-2}=-2

c)

\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x\sin{(2x)}}{\cos{x}-1}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x\cdot 2\sin{x}\cos{x}}{\cos{x}-1}\frac{\cos{x}+1}{\cos{x}+1}=\lim_{x\rightarrow 0}2\cos{x}(\cos{x}+1)\frac{x\sin{x}}{\underset{-\sin^2{x}}{\underbrace{\cos^2{x}-1}}}=

\lim_{x\rightarrow 0}2\cos{x}(\cos{x}+1)\frac{x\sin{x}}{\underset{-\sin^2{x}}{\underbrace{\cos^2{x}-1}}}=-2\lim_{x\rightarrow 0}\cos{x}(\cos{x}+1)\cdot\left (\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin{x}}{x} \right )^{-1}

Temos novamente o limite fundamental:

=-2\cdot1\cdot (1+1)\cdot1=-4

Abraço!

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