Função Composta (Apostila AFA)

. Sejam as funções g(x) e h(x) assim definidas: 
  g(x) = 3x-4 e h(x) = f(g(x)) = 9x²-6x+1. Determine a função f(x).




 Alguém poderia fazer essa questão passo a passo? Não consegui fazer. Obrigado.

Nesse tipo de questão você tem que enxergar o g(x) dentro do f(x). Como assim? Veja o monômio 9x²; ele nos atrapalha para enxergar g(x). Vamos completar o quadrado perfeito para formar (3x-4)²:

f(g(x))=9x²-2*4*3x+16+18x-15=(3x-4)²+18x-15

Veja que eu completei o quadrado perfeito (em negrito) e "devolvi" aos monômios de grau 1 e 0 o que eu peguei "emprestado" para formar o quadrado perfeito. Vamos agora resolver o caso do 18x para podermos enxergar um 3x-4 ali dentro:

f(g(x))=(3x-4)² + 6(3x-4) + 9

veja que você consegue enxergar a função g(x)=3x-4 dentro de f(x):
f(g(x))=[g(x)]² + 6g(x) + 9 = [g(x) + 3]²

Logo fica fácil de ver que f(x)=(x+3)² .

Abraço!