Função Exponencial ITA

por Pedro 01 Seg 08 Fev 2016, 21:50

(ITA/73) A lei de decomposição do radium no tempo t ≥ 0 é dada pela fórmula $Função Exponencial ITA Gif.latex?N%28t%29%3DC$ , onde $Função Exponencial ITA Gif$ é a
quantidade de radium no tempo t, C e k são constantes positivas. Se a metade da quantidade primitiva, $Função Exponencial ITA Gif$ ,
desaparece em 1600 anos, qual a quantidade perdida em 100 anos?

a) ( ) $Função Exponencial ITA Gif$ da quantidade inicial.

b) ( ) $Função Exponencial ITA Gif$ da quantidade inicial.

c) ( ) $Função Exponencial ITA Gif$ da quantidade inicial.

d) ( ) $Função Exponencial ITA 16%7D%29$  da quantidade inicial.

e) ( ) Nenhuma das anteriores

por **gilberto97** Seg 08 Fev 2016, 22:08

Olá pedro.

A meia vida é 1600 anos, segundo o enunciado. Então:

$Função Exponencial ITA 2%7D%3D%5Cfrac%7Bln%282%29%7D%7Bk%7D$

$Função Exponencial ITA Gif$

Observe que C = N(0), pois

$Função Exponencial ITA Gif.latex?N%280%29%3DC$

Para t = 100 anos:

$Função Exponencial ITA Gif.latex?N%20%3D%20N%280%29.e%5E%7B-%5Cfrac%7Bln%282%29%7D%7B1600%7D$

$Função Exponencial ITA Gif.latex?N%20%3D%20N%280%29$

$Função Exponencial ITA Gif.latex?N%20%3D%20N%280%29$

$Função Exponencial ITA 16%7D$

Quantidade perdida:

$Função Exponencial ITA 16%7D%29$

NOTA: Como obtive aquela expressão para a meia vida?

$Função Exponencial ITA 2%7D%7D$

$Função Exponencial ITA 2%7D$

ln(x^-1) = -ln(x)

$Função Exponencial ITA 2%7D%3D%5Cfrac%7Bln%282%29%7D%7Bk%7D$

por **Elcioschin** Seg 08 Fev 2016, 22:17

N(t) = C.e^-k.t

Para t = 1600 ---> N(t) = C/2 ---> C/2 = C.e^-1600.k ---> e^-1600.k = 1/2

Quantidade perdida para t = 100 ---> x = C - N(100) ---> x = C - C.e^-100.k --->

x = C - C.e^-1600.k/16 ---> x = C - C.e(^{- 1600.k})^1/16 ---> x = C - C.(1/2)^1/16 --->

x = C.(1 - 2^-1/16)