Fatorial

por valeriasjs Sex 05 Fev 2016, 22:52

(FMTM) Para todo número natural n > 1, vale a fórmula:

$\frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}$

Se $T = \frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{2\cdot 3} + \frac{1}{3\cdot 4} + ... + \frac{1}{99\cdot 100}$ , então:

A) T < 0
B) T > 1
C) T = 0,90
D) T = 0,99
E) T = 0

Spoiler:

por **Carlos Adir** Sex 05 Fev 2016, 23:09

$\mathrm{\dfrac{1}{n(n-1)}=\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}}$

Se fizermos com cada número:

$\\ \mathrm{\dfrac{1}{1 \cdot 2}=\dfrac{1}{1} -{\color{Red}\dfrac{1}{2}}} \\ \mathrm{\dfrac{1}{2 \cdot 3}={\color{Red} \dfrac{1}{2}} - {\color{Blue} \dfrac{1}{3}}} \\ \mathrm{\dfrac{1}{3 \cdot 4}={\color{Blue} \dfrac{1}{3}}-\dfrac{1}{4}} \\ \mathrm{\cdots} \\ \mathrm{\dfrac{1}{98 \cdot 99}=\dfrac{1}{98}-{\color{Red} \dfrac{1}{99}}} \\ \mathrm{\dfrac{1}{99 \cdot 100}={\color{Red} \dfrac{1}{99}}-\dfrac{1}{100}}$

E ao somarmos tudo, vamos cancelando 1 a 1:

$\\ \mathrm{T=\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2} \right )+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3} \right )+\cdots+\left(\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100} \right )} \\ \mathrm{T = 1-\dfrac{1}{100}=\dfrac{99}{100}=0,99}$

Resposta: D

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