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por blfelix Qui 09 Dez 2010, 17:03

ache as quatro raízes da equação $x^{4} - 5x^{3} + 6x^{2} - 5x + 1 = 0$

por **adriano tavares** Qui 09 Dez 2010, 22:33

Olá,blfelix.

Essa é uma equação recíproca de primeira espécie, pois os coeficientes dos termos equidistantes dos extremos são iguais e do mesmo sinal.

Dividindo todos os termos por x² teremos:

$x^2-5x+6-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2}=0\\\\x^2+\frac{1}{x^2}-5\left(x+\frac{1}{x} \right )+6=0$

Fazendo $x+\frac{1}{x}=a$ e elevando ambos os membros ao quadrado teremos:

$x^2+2x.\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=a^2\Rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=a^2-2$

Substituindo teremos:

$a^2-2-5a+6=0\Rightarrow a^2-5a+4=0$

$a_1=4\\\\a_2=1$

$x+\frac{1}{x}=4\\\\x+\frac{1}{x}=1$

Resolvendo essas duas equações do 2ºgrau encontraremos:

$x_1=2+\sqrt{3}\\\\x_2=2-\sqrt{3}\\\\x_3=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\\\\x_4=\frac{1-\sqrt{3}i}{2}$

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