Polinômio UNICAMP

por AlessandroMDO Seg 03 Jul 2017, 13:40

Determine o quociente e o resto da divisão de x^100 + x + 1 por x²-1.

Spoiler:

Tem alguma maneira de fazer isso recorrer a chave? Estava no meu livro na parte do teorema do fator.

por **Victor011** Ter 04 Jul 2017, 08:19

Veja que:

x^{100}-1=\left (x^{2}\right )^{50}-1^{50}=(x^{2}-1)(x^{98}+x^{96}+x^{94}+...+x^{2}+1)

Essa fatoração é muito importante e conhecida. De uma maneira genérica, tem-se:

x^{n}-y^{n}=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^{2}+...+xy^{n-2}+y^{n-1})

Note que x¹⁰⁰ + x + 1 = (x¹⁰⁰-1) + x + 2. Como x¹⁰⁰-1 é múltiplo de x²-1, o resto será x+2.

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