[Resolvido](UNICAMP) Determinante do Polinomio

por Carolziiinhaaah Sex 28 Jan 2011, 12:36

Seja o polinomio
$p(x) = det \begin{pmatrix} a-x & 0 & b\\ 0 & 2-x & c\\ b & 0 & d-x \end{pmatrix}$
onde a, b, c e d são números reais.

a) Mostre que x = 2 é uma raíz do polinômio p(x).
b) Mostre que as duas outras raízes de p(x) também são reais.
c) Quais as condições sobre a, b, c e d para que p(x) tenha uma raiz dupla, x ≠ 2?

gabarito: a) Demonstração. b) Demonstração. c) a = d, a ≠ 2 e b = 0.

por **Elcioschin** Sex 28 Jan 2011, 14:24

p(x) = determinante

Aplicando Sarrus:

p(x) = (a - x)*(2 - x)*(d - x) - (2 - x)*b²

p(x) = (2 - x)*[(a - x)*(d - x) - b²]

a) p(x) = 0 -----> 2 - x = 0 ----> x = 2

b) (a - x)*(d - x) - b² = 0 ----> x² - (a + d).x + (a.d - b²) = 0

Discriminante ---> D = (a + d)² - 4.1.(a.d - b²) ---> D = a² + d² + 4.b² - 2.a.d ---> D ≥ 0 ---> Raízes reais

por Carolziiinhaaah Ter 01 Fev 2011, 13:48

ok.. obrigada Smile

E quanto a c)?

detalhe que no post eu grafei errado. Não é p(c) e sim p(x).

por **Elcioschin** Ter 01 Fev 2011, 18:20

c) Para que p(x) tenha uma raiz dupla diferente de 2:

p(x) = (2 - x)*[(a - x)*(d - x) - b²]

Dentro do par de colchetes deve haver uma raiz dupla. Para isto devemos ter:

a) b = 0 ----> p(x) = (2 - x)*[(a - x)*(d - x)]

Fazendo d = a ----> p(x) = (2 - x)*[(a - x)*(a - x)] ----> p(x) = (2 - x)*(a - x)²

O fator (a - x)² é indicativo de raiz dupla x = a

por Carolziiinhaaah Ter 01 Fev 2011, 21:29

Valeu mesmo, mestre Elcio Very Happy

por rtachinardi Ter 08 Out 2019, 17:40

Alguém poderia me explicar a b? não entendi porque o x - 2 some da expressão.

por **Elcioschin** Ter 08 Out 2019, 18:28

Não "sumiu" !!!

P(x) = (x - 2).[(a - x)*(d - x) - b²]

Note que P(x) está fatorado. O 1º fator (x - 2) = 0 mostra x = 2 é uma raiz

Para calcular as outras duas raízes (raiz dupla) basta usar o 2º fator:

(a - x)*(d - x) - b² = 0

por rtachinardi Ter 08 Out 2019, 18:37

entendi... obrigado mestre!

por viniciuspoof Sex 08 Set 2023, 19:45

@Elcioschin

Nesse trecho:

Discriminante ----> D = (a + d)² - 4*1*(ad - b²) ----> D = a² + d² + 4b² - 4ad ----> D >= 0 ---> Raízes reais

Não está faltando um termo, pois (a + d)² - 4 . 1 . (ad - b²) = a² + 2ad + d² - 4ad + 4b² = a² - 2ad + d² + 4b² ?

Outra pergunta, o que garante que o discriminante é igual a zero?

por **Elcioschin** Sex 08 Set 2023, 20:00

Eu digitei um número errado: o correto é - 2.ad (e não - 4.ad) ---> vou editar

Eu não escrevi D = 0 ---> Eu escrevi D >= 0

A letra b pede que as outras duas raízes sejam reais; para isto acontecer devemos ter D>= 0