Pontos de Inflexão da Derivada

por omega e beta Qua 08 Dez 2010, 11:48

Quais são os pontos de inflexão da função f(x)=x^4+8x^3+18x^2-8?

por **Elcioschin** Qua 08 Dez 2010, 12:03

f(x)=x^4 + 8x³ + 18x² -8

f '(x) = 4x³ + 24x² + 36x ----> f '(x) = 4x*(x² + 6x + 9) ----> f '(x) = 2x*(x + 3)²

Pontos de inflexão ----> f '(x) = 0 -----> x = 0 e x = -3

por omega e beta Qui 09 Dez 2010, 08:57

opções de respostas.
a) 3, -1 e -1,3
b) -3,19 e -1,3
c) 3,19 e 1,3
d) 3,17 e 1,-3

?

por **Euclides** Qui 09 Dez 2010, 13:10

Nenhuma das alternativas esta' inteiramente correta. A solução dada pelo Elcio (correta) mostra os dois pontos de inflexão existentes

$\120dpi \\x=0\,\,\to\,\,y=-8\\x=-3\,\,\to\,\,y=19$

por agrimathor Qui 06 Jan 2011, 03:48

As vezes não é possível identificar os pontos de inflexão de uma função através das raízes de uma das formas da derivada.
$f(x)=x^4+8x^3+18x^2-8$

A primeira forma derivada da função:
$f'(x)=4(x^3+6x²+9x)=4x(x+3)^2$
Raízes:
$R1=\{(-3,0);(0,0)\}$
É fácil perceber que (0,0) não faz parte do conjunto solução.

A segunda forma derivada da função:
$f''(x)=12(x^2+4x+3)$
Raízes:
$R2=\{(-1,3);(-3,19)\}$

Resposta certa: b) -3,19 e -1,3

por **Medeiros** Qui 06 Jan 2011, 04:56

também vou dar meu pitaco. Antes vamos lembrar:

f' = 0 ==> f tem um máx. ou um mín.
f' < 0 ==> f decresce
f' > 0 ==> f cresce

f" > 0 ==> f tem concavidade para cima
f" < 0 ==> f tem concavidade para baixo
f" = 0 ==> f tem um ponto de inflexão

f(x) = x⁴ + 8x³ + 18x² - 8
f'(x) = 4x³ + 24x² + 36x
f"(x) = 12x² + 48x + 36
f" = 0 ----> 12x² + 48x + 36 = 0 ----> x² + 4x + 3 = 0
x" = (-4 ± 2)/2
x"₁ = -1
x"₂ = -3

indo em f(x),
x=-1 ---> f(x) = 1 - 8 + 18 - 8 = 3 -------> I₁ = (-1 ; 3)
x=-3 ---> f(x) = 81 - 216 + 162 - 8 ------> I₂ = (-3 ; 19)

resultado que concorda com o do Agrimathor.