IBMEC/07

Na figura, tem-se que:

I) Os segmentos BD , CD , DE são congruentes e cada um mede 4 cm;
II) O ângulo CDE mede o dobro da medida do ângulo BAC;
III) O ponto C pertence à bissetriz do ângulo BDE.



a) Calcule a medida do segmento CE .
b) Calcule a medida do segmento AC .
Dica: se precisar, utilize a seguinte fórmula cos(2α) = 1 − 2 sen²(α)

Respostas:
a) CE = 4√(2-√2)
b) AC = 4√(2+√2)

Alguém poderia me ajudar nessa questão?

Desde já, eu agradeço.

Eae blz ?

vamos lá:
Chamemos o angulo BÂC de alfa, temos que o ângulo CDE como 2α, logo como a reta C é bissetriz ou seja ela corta o angulo em dois valores iguais temos que o ângulo BDC também valendo 2α. Agora iremos chamar o ângulo DÊC de β, consequentemente o ângulo DCE também irá ser β, logo temos que: 
2α + 2β = 180º ---> α + β = 90º  (I)

Agora analisando o triângulo maior, temos que:
4α + α + β = 180º
5α + β = 180º (II)

Resolvendo o sistema temos que α = 22,5º e β = 67,5º

 

Agora aplicando lei dos cossenos no triângulo DCE e chamando o lado CE de x: 
X² = 4² + 4² -2.4.4.cos2α 
x² = 32 - 32.cos45º
x² = 32 - 16√2, colocando 16 em evidência:
x² = 16.(2 - √2) ---> x = 4.√(2-√2) cm

utilizando a fórmula citada no enunciado: 
cos2α = 1 - 2senα²
cos45º -1 = -2senα²
√2/2 - 1 =-2senα²
√2-2/2 = -2senα²  ---- multiplicando os termos por -1/2 para retirar o sinal negativo do seno e isola-lo. 
-√2 + 2/4 = senα²
ou seja senα = √(2 - √2 )/2  



observando o triângulo ADC, aplicando a lei dos senos  e chamando AC de y :
4/senα = y/sen 2α
4.sen45º = y.senα 
4.√2/2 = y.senα
2√2 = y.senα
2√2 = y.√(2 - √2)/2  ---> elevando os dois lados da igualdade ao quadrado para retirar a raiz
4.2 = y². (2 - √2)/4 
32 = y² . (2 - √2) 
y² = 32/(2-√2) . (2 + √2)/(2 + √2)
y² = 64 + 32√2/2 
y² = 32 + 16√2 
y² = 16.(2 + √2)
y = 4.√(2+√2) cm

Seja B^AC = x ---> C^DE = 2x

DBC é isósceles (DB = DC = 4) ---> D^BC = D^CB

B^DC + D^BC + D^CB = 180 ---> 2x + 2.B^DC = 180 ---> B^DC = D^CB = 90 - x

A^BC + D^BC = 180 ---> A^BC + (90 - x) = 180 ---> A^BC = 90 + x

BÂC + A^BC + A^CB = 180 ---> x + (90 + x) + A^CB = 180 ---> A^CB = 90 - 2x

A^CB + B^CD + D^CE = 180 ---> (90 - 2x) + (90 - x) + D^CE = 180 ---> D^CE = 3x

DCE é isósceles (DC = CE = 4) ---> DÊC = D^CE ---> DÊC = 3x

C^DE + D^CE + DÊC = 180 ---> 2x + 3x + 3x = 180 ---> x = 45/2 ---> C^DE = 45

CE² = CD² + DE² - 2CD.DE.cos (C^DE) ---> CE² = 4² + 4² - 2.4.4.(√2/2) --->

CE² = 32 - 16.√2 ---> CE² = 16.(2- √2) ---> CE = 4.√(2 - √2)

Complete

Beleza, Shino, e você?
Obrigado, Shino e Elcioschin