Relações Métricas no Triângulo

por Eduardo Freitas 3007 Qui 07 Jan 2016, 09:11

O ponto B pertence ao segmento AC,dista 2cm do ponto A e dista 1cm do ponto C.O raio de um círculo que tangencia exteriormente os círculos de diâmetro AB e BC e tangencia internamente o círculo de diâmetro AC é:

a)1/3cm b)2/5cm c)3/7cm d)4/6cm e)5/11cm

por **raimundo pereira** Qui 07 Jan 2016, 21:30

por Eduardo Freitas 3007 Qui 07 Jan 2016, 22:46

Muito Obrigado!! Wink

por lookez Seg 27 maio 2019, 18:24

Mestre Raimundo, o senhor considerou que o segmento PE vale r, mas na verdade ele é um pouco menor, da até para ver no desenho. O gabarito é 3/7, muito próximo ao que foi encontrado em sua resolução. Gostaria de saber como achar o resultado exato, pois não consigo informações do lado DP e PE para o Pitágoras sem considerar que PE é r, só consigo saber que a soma DP + PE vale 1,5.

por **Baltuilhe** Seg 27 maio 2019, 20:14

Boa noite!

Para resolver esse problema podemos utilizar a relação de Stewart.
xb^2+yc^2-az^2=axy

Então, do desenho que o problema sugeriu:

Retiramos o triângulo:

Fazendo as contas (aplicando a relação de Stewart):
1\cdot(1+r)^2+0,5\cdot(0,5+r)^2-1,5\cdot(1,5-r)^2=1,5\cdot 1,0\cdot 0,5\\1+2r+r^2+0,5\cdot(0,25+r+r^2)-1,5\cdot(2,25-3r+r^2)=0,75\\1+2r+r^2+0,125+0,5r+0,5r^2-3,375+4,5r-1,5r^2=0,75\\1+0,125-3,375+2r+0,5r+4,5r+r^2+0,5r^2-1,5r^2=0,75\\-2,25+7r=0,75\\7r=0,75+2,25=3\\\boxed{r=\dfrac{3}{7}}

Espero ter ajudado!

por **Elcioschin** Seg 27 maio 2019, 21:27

Outra solução, aproveitando o desenho do Raimundo e usando Lei dos Cossenos:

Seja M o ponto médio de AC, centro do círculo maior: AM = CM = 1,5
Seja Q o ponto onde a reta que contém OP, intercepta a circunferência maior: OQ = 2.r + 1
MQ = AM = BM = 1,5

Lei dos cossenos:

∆ QOM ---> MQ² = OM² +OQ² - 2.OM.OQ.cos(MÔQ) --->
1,5² = (0,5)² + (2.r + 1)² - 2.(0,5).(2.r + 1).cos(MÔQ) ---> calcule cos(MÔQ) ---> I

∆ PON ---> PN² = ON² + OP² - 2.ON.OP.cos(NÔQ) ---> NÔQ = MÔQ

(r + 0,5)² = 1,5² + (r + 1)² - 2.(1,5).(r + 1).cos(MÔQ) ---> calcule cos(MÔQ) ---> II

I = II ---> calcule r

por **Baltuilhe** Seg 27 maio 2019, 22:21

Elcioschin escreveu:Outra solução, aproveitando o desenho do Raimundo e usando Lei dos Cossenos:

Seja M o ponto médio de AC, centro do círculo maior: AM = CM = 1,5
Seja Q o ponto onde a reta que contém OP, intercepta a circunferência maior: OQ = 2.r + 1
MQ = AM = BM = 1,5

Lei dos cossenos:

∆ QOM ---> MQ² = OM² +OQ² - 2.OM.OQ.cos(MÔQ) --->
1,5² = (0,5)² + (2.r + 1)² - 2.(0,5).(2.r + 1).cos(MÔQ) ---> calcule cos(MÔQ) ---> I

∆ PON ---> PN² = ON² + OP² - 2.ON.OP.cos(NÔQ) ---> NÔQ = MÔQ

(r + 0,5)² = 1,5² + (r + 1)² - 2.(1,5).(r + 1).cos(MÔQ) ---> calcule cos(MÔQ) ---> II

I = II ---> calcule r

Mestres, boa noite!

Essa solução, apesar de parecer correta, tem um pequeno erro devido ao desenho. O ponto Q (prolongamento do segmento OP) não intercepta a circunferência maior em 1+2r, conforme parece. O ponto de tangência sai do ponto central da circunferência maior (ponto M) pelo prolongamento até o ponto MP. Daí encontramos MQ = 3,5 e MP = 3,5-r.

Amplexos!