Limites com raiz

por **Forken** Qui 31 Dez 2015, 22:04

Problema: \lim_{x\rightarrow -1}\;\;\frac{1-y^{2}}{y+\sqrt{2+y}}

Gabartio: \frac{4}{3}

Tentativa:
\lim_{x\rightarrow -1}\;\;\frac{1-y^{2}}{y+\sqrt{2+y}}\frac{(y-\sqrt{2+y})}{(y-\sqrt{2+y})}

\lim_{x\rightarrow -1}\;\;\frac{(1-y^{2})(y-\sqrt{2+y})}{y^{2}-2-y}

\lim_{x\rightarrow -1}\;\;\frac{(1-y^{2})(y-\sqrt{2+y})}{y^{2}-1}

\lim_{x\rightarrow -1}\;\;\frac{(1-y^{2})(y-\sqrt{2+y})}{-(-y^{2}+1)}

\lim_{x\rightarrow -1}\;\;\frac{y-\sqrt{2+y}}{-1}

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por **Robson Jr.** Qui 31 Dez 2015, 22:33

Você não está usando os parenteses corretamente. Não dá pra saber se pensou certo e se confundiu ao representar errado, ou se está se equivocando no raciocínio.

Racionalizando e fatorando, temos:

$L=\lim_{y \to -1}\frac{1-y^2}{y+\sqrt{2+y}}\\\\ \therefore \ \ L=\lim_{y \to -1}\frac{1-y^2}{y+\sqrt{2+y}}\frac{(y-\sqrt{2+y})}{(y-\sqrt{2+y})} \\\\ \therefore \ \ L = \lim_{y\to -1} \frac{(1-y^2)(y-\sqrt{2+y})}{y^2-y-2} \\\\ \therefore \ \ L = \lim_{y\to -1} \frac{(1-y)(1+y)(y-\sqrt{2+y})}{(y+1)(y-2)} \\\\ \therefore \ \ L= \lim_{y\to -1} \frac{(1-y)(y-\sqrt{2+y})}{(y-2)} \\\\$

Agora que a indeterminação foi eliminada, basta substituir y = -1:

$L=\frac{(1-(-1))(-1-1)}{-1-2}=\boxed{\frac{4}{3}}$

por **Forken** Sex 01 Jan 2016, 10:50

Muito obrigado pela resolução e a observação ao uso dos parênteses! Robson Jr :face:, retifiquei minha tentativa e gostaria que alguém "apontasse" em qual passagem eu errei.

por **Elcioschin** Sex 01 Jan 2016, 12:17

Você errou no denominador, na passagem da 2a para a 3a linha

2a linha ---> y² - 2 - y

3a linha ---> y² - 1

por **Forken** Sex 01 Jan 2016, 15:11

y^{2}-2-y

y^{2}-2-(-1)

y^{2}-2+1

y^{2}-1

Fiz assim, não consigo entender onde está o erro. O y vale -1.

por **Elcioschin** Sex 01 Jan 2016, 19:10

Existe outro erro na sua solução: é y ---> - 1 (e não x ---> - 1)

Quando se aplica o limite, deve-se aplicar em TODA a expressão (No denominador e no numerador)

Você, além de aplicar APENAS no denominador, aplicou somente em PARTE dele:

O correto, no denominador seria:

y² - 2 - y

Para y ---> -1 ------> (-1)² - 2 - (-1) = 0

Isto significa que AINDA não está na hora de aplicar o limite