Relação de Euler
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Relação de Euler
por Smasher Qui 10 Dez 2015, 17:20
Para todo poliedro convexo, cuja definição é suposta conhecida para esta demonstração, vale a Relação de Euler :
Onde V é o número de vértices; A, o número de arestas e F, o número de faces.
Primeiro precisamos provar, por indução finita, que para uma superfície poliédrica limitada convexa aberta, vale a relação: Va -Aa+Fa=1
1) Para Fa=1
Neste caso a superfície se reduz a um polígono convexo de n lados e, então vêm Va=n e Aa=n.
Temos: Va-Aa+Fa=n=n+1=1 → Va-Aa+Fa=1
Logo, a relação está verificada para Fa=1.
2)Admitindo a relação válida para uma superfície de F' faces, V' vértices e A' arestas, vamos provar que também vale para uma superfície de F'+1 faces, Va vértices e Aa arestas.
Por hipótese, para a superfície de F' faces, A' arestas e V' vértices vale : V' - A' + F' = 1
Acrescentando a essa superfície (que é aberta) uma face de p arestas (lados) e considerando que q dessas mesmas arestas (lados) coincidem com arestas já existentes, obtemos uma nova superfície com Fa faces, Aa arestas e Va vértices tais que:
Fa = F' + 1
Aa = A' + p - q [menos q por que estas, que coincidem, estariam contadas a mais]
Va = V' + p - (q+1) [se q arestas coincidem, q+1 vértices coincidem]
Formando a expressão Va-Aa+Fa e substituindo os valores:
V' + p - (q+1) - (A' + p - q) + F' + 1 = V' + p - q - 1 - A' - p + q + F' + 1 = V' - A' + F'
Como Va-Aa+Fa = V' - A' + F', está provado que essa expressão não se altera mesmo acrescentando (ou tirando) face(s) da superfície!
Como, por hipótese, V' - A' + F'=1, vem que Va-Aa+Fa=1
c) Agora, se tirarmos uma face de uma superfície poliédrica convexa fechada de F faces, V vértices e A arestas, ficamos com uma superfície aberta, na qual Va=V ; Aa=A e Fa=(F-1). Da relação encontrada vem que:
Va-Aa+Fa=V-A+(F-1)=1
∴ V-A+F=2
Os poliedros para os quais valem esta relação são chamados de poliedros eulerianos. Todo poliedro convexo é euleriano, mas nem todo poliedro euleriano é convexo.
| V-A+F=2 |
Primeiro precisamos provar, por indução finita, que para uma superfície poliédrica limitada convexa aberta, vale a relação: Va -Aa+Fa=1
1) Para Fa=1
Neste caso a superfície se reduz a um polígono convexo de n lados e, então vêm Va=n e Aa=n.
Temos: Va-Aa+Fa=n=n+1=1 → Va-Aa+Fa=1
Logo, a relação está verificada para Fa=1.
2)Admitindo a relação válida para uma superfície de F' faces, V' vértices e A' arestas, vamos provar que também vale para uma superfície de F'+1 faces, Va vértices e Aa arestas.
Por hipótese, para a superfície de F' faces, A' arestas e V' vértices vale : V' - A' + F' = 1
Acrescentando a essa superfície (que é aberta) uma face de p arestas (lados) e considerando que q dessas mesmas arestas (lados) coincidem com arestas já existentes, obtemos uma nova superfície com Fa faces, Aa arestas e Va vértices tais que:
Fa = F' + 1
Aa = A' + p - q [menos q por que estas, que coincidem, estariam contadas a mais]
Va = V' + p - (q+1) [se q arestas coincidem, q+1 vértices coincidem]
Formando a expressão Va-Aa+Fa e substituindo os valores:
V' + p - (q+1) - (A' + p - q) + F' + 1 = V' + p - q - 1 - A' - p + q + F' + 1 = V' - A' + F'
Como Va-Aa+Fa = V' - A' + F', está provado que essa expressão não se altera mesmo acrescentando (ou tirando) face(s) da superfície!
Como, por hipótese, V' - A' + F'=1, vem que Va-Aa+Fa=1
c) Agora, se tirarmos uma face de uma superfície poliédrica convexa fechada de F faces, V vértices e A arestas, ficamos com uma superfície aberta, na qual Va=V ; Aa=A e Fa=(F-1). Da relação encontrada vem que:
Va-Aa+Fa=V-A+(F-1)=1
∴ V-A+F=2
Os poliedros para os quais valem esta relação são chamados de poliedros eulerianos. Todo poliedro convexo é euleriano, mas nem todo poliedro euleriano é convexo.
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