Vértice triângulo equilátero

Dados os pontos A(-1,4) e B(3,6), determine o ponto C de forma que A,B e C sejam vértices de um triângulo equilátero.


Gab: C₁(1-√3,5+2√3) e  C₂(1+√3,5-2√3)

Eis o caminho:

Desenhe um sistema xOy e plote, em escala, os pontos A e B
Calcule a distância AB = lado do triângulo e calcule a altura h dele: h = AB.√3/2
Determine o ponto médio do lado AB ---> M(xM, yM)
Determine o coeficiente angular m da reta AB
Pelo ponto M trace um reta perpendicular à reta AB (mediatriz de AB
Determine a equação desta mediatriz que passa por M e tem coeficiente angular m' = - 1/m

Note que existirão dois triângulos que atendem: um acima e outro abaixo de AB.
Marque os dois vértices C1(x', y') e C2(x", y") e trace os lados faltantes dos dois triângulos

A distância tanto de C1 quanto de C2 a M é a mesma: é a altura h do triângulo.
Você pode aplicar a fórmula da distância de um ponto (C1 ou C2) à uma reta (AB)
Pode também fazer AC1 = BC1 = AC2 = BC2 = AB
Pode também levar em consideração que os ângulos internos dos dois triângulos valem 60º

Élcio, eu errei em alguma coisa ao tentar resolver pelo seu caminho, você poderia me ajudar em descobrir o que foi? =/

Resolução:

Spoiler:

Além disso, eu fiz uma resolução muito mais "saudável", por rotação de vetores:

Spoiler:

Gabriel

Você esqueceu de calcular a equação da reta mediatriz de AB que passa por m(1, 5):

m' = -1/m ---> m' = - 1/(1/2) ---> m' = - 2 ---> y - 5 = - 2.(x - 1) ---> y = - 2.x + 7

Era mais fácil ter calculado a distância de P(x, y) a M(1, 5), que é a altura h = √15 do triângulo :

(x - 1)² + (y - 5)² = 15 ---> x² + y² - 2.x - 10.y + 9 = 0

As duas soluções seriam a interseção desta equação com a reta da mediatriz.

De qualquer modo você encontrou outro modo usando complexos

Muito Obrigado pela ajuda, Élcio! Agora consegui calcular do jeito analitico :DD

Eu até tinha calculado a mediatriz, mas calculei errado. --'

A reta mediatriz é:
y=-2x+7  (o senhor trocou as coordenadas na hora de calcular)

Eu tinha achado -x+2y-9=0 (nada a ver)


Resolução:

Spoiler:

Élcio, você poderia me tirar uma outra dúvida bobinha?
Quando eu quiser usar a fórmula da distância entre ponto e reta para calcular o x_p e o y_p formando um sistema com outra equação, o que eu faço com o módulo da fórmula?

Você deve manter o módulo. Com isto haveriam duas soluções possíveis, como por exemplo:

d = |a.xp + b.yp + c|/√(a² + b²) ---> |a.xp + b.yp + c| = d.√(a² + b²) ---> d, a, b conhecidos --->

Existem duas possibilidades:

1) a.xp + b.yp + c = + d.√(a² + b²)

2) a.xp + b.yp + c = - d.√(a² + b²)

E note que a questão tem DUAS soluções, coincidindo com as DUAS possibilidades

E, realmente eu tinha invertido xM com yM. Já editei minha mensagem. Obrigado pelo alerta!

Ah sim Élcio, muito obrigado pela ajuda!!


Outra resolução :DDD :

Spoiler: