(EFOMM) Polinômios

por Convidado Ter 01 Dez 2015, 18:32

Seja o polinômio p(x)=x⁶-26x⁴-32x³-147x²-96x-180. A respeito das raízes da equação p(x)=0, podemos afirmar que:

A) todas as raízes são reais.
B) somente duas raízes são reais, sendo elas distintas.
C) somente duas raízes são reais, sendo elas iguais.
D) somente quatro raízes são reais, sendo todas elas distintas.
E) nenhuma raiz é real.

por **Elcioschin** Ter 01 Dez 2015, 22:55

Vou começar:

x^6 + 0.x^5 - 26.x^4 - 32.x³ - 147.x² - 96.x - 180

Caso existam raízes racionais elas dever ser divisores de 180: ± 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10 ...

Testando, vê-se que x = - 5 e x = 6 são duas raízes reais distintas (eliminadas C, E)

Reduza o grau, usando Briott-Ruffini ---> x^4 + x³ + 5x² + 3x + 6 = 0 ---> Não existem mais raízes racionais ( ± 1, 2, 3, 6)

Lembre-se também que a soma das raízes vale 0 (Girard)

por Convidado Qua 02 Dez 2015, 09:23

Obrigado, Sr. Élcio. Nem me lembrei do Teorema das Raízes Racionais, :evil:.

por **Eduardo Rabelo** Dom 20 Set 2020, 14:13

Há alguma forma de resolver sem testar cada raíz? Fiquei testando até a +4 e -4 e logo pensei que não houvessem raízes. Deve ser bastante cansativo fazer, principalmente em uma prova.

Eduardo Rabelo

20.09.2020 14:13:37

por Tomaz1 Sex 02 Abr 2021, 23:44

Eduardo RabeloITA escreveu:Há alguma forma de resolver sem testar cada raíz? Fiquei testando até a +4 e -4 e logo pensei que não houvessem raízes. Deve ser bastante cansativo fazer, principalmente em uma prova.

Eduardo Rabelo

20.09.2020 14:13:37

Também gostaria de saber se há outra forma?

por **Vitor Ahcor** Sáb 03 Abr 2021, 09:05

Olá,

Fatorando um pouco:

x^6 - 26.x^4 - 32.x³ - 147.x² - 96.x - 180 = 0

x^6 - 26x^4 - 32x(x^2 + 3) - 147x^2 - 180 = 0

x^4*(x^2+3) - 32x*(x^2+3) - 29x^4 - 147x^2 - 180 = 0

x^4*(x^2+3) - 32x*(x^2+3) - 29x^4 - 87x^2 - 60*(x^2 + 3) = 0

x^4*(x^2+3) - 32x*(x^2+3)- 29x^2 (x^2+3) - 60*(x^2 +3) = 0

(x^2+3)*(x^4 - 29x^2 - 32x - 60) = 0

Agr basta usar o método peruano de fatoração.

por Tomaz1 Sáb 03 Abr 2021, 10:40

A derivada não poderia ser usada? Tenho dúvida de quando é vantajoso usá-la na função polinomial

por **Elcioschin** Sáb 03 Abr 2021, 11:13

Eu já tinha encontrado as raízes x = -5 e x = 6
Com isto já tinha reduzido para x⁴ + x³ + 5.x² + 3.x + 6

O colega Vitor Ahcor já tinha encontrado o fator (x² + 3).
Isto implica duas raízes imaginárias x = - √3.i e x = √3.i

.x⁴ + x³ + 5.x² + 3.x + 6|x² + 3

-x⁴ ....... - 3x² .............. |x² + x + 2
-------------------------------------
.................... + x³ + 2.x² + 3.x
..................... - x³ .......... - 3.x
------------------------------------------
............................ + 2.x² ....... + 6
............................ - 2x² ........ - 6
------------------------------------------
................................. 0 ............ 0

x² + x + 2 = 0 ---> outras duas raízes são complexas

Solução: São apenas duas raízes reais ---> alternativa B

por natanlopes_17 Sáb 03 Abr 2021, 14:01

Vitor Ahcor escreveu:Olá,

Fatorando um pouco:

x^6 - 26.x^4 - 32.x³ - 147.x² - 96.x - 180 = 0

x^6 - 26x^4 - 32x(x^2 + 3) - 147x^2 - 180 = 0

x^4*(x^2+3) - 32x*(x^2+3) - 29x^4 - 147x^2 - 180 = 0

x^4*(x^2+3) - 32x*(x^2+3) - 29x^4 - 87x^2 - 60*(x^2 + 3) = 0

x^4*(x^2+3) - 32x*(x^2+3)- 29x^2 (x^2+3) - 60*(x^2 +3) = 0

(x^2+3)*(x^4 - 29x^2 - 32x - 60) = 0

Agr basta usar o método peruano de fatoração.

Poderia demonstrar esse método ?