parabola

Deduza uma equação da parábola com vértice em V(6, —3) e cuja diretriz é a reta 3x — 5y +1=0

Sabemos que, em qualquer parábola, a reta que passa pelo vértice e pelo foco F  é perpendicular à diretriz (é o chamado eixo de simetria). Além disso, o vértice pertence à parábola e portanto equidista da diretriz e do foco; assim, conduzimos por V uma perpendicular à diretriz dada (a qual tem declive 3/5):
y - (-3) = -\frac{5}{3}(x - 6) \Leftrightarrow 5x + 3y = 21
A perpendicular encontrada intercepta a diretriz num ponto P, tal que V é o ponto médio entre P e F. Achamos P resolvendo o sistema:
\left\{\begin{matrix} 3x-5y+1=0\\5x+3y=21 \end{matrix}\right.
\therefore (x,y) = (3,2) = P
Portanto, usando notação vetorial por simplicidade:
V = \frac{F+P}{2} \Rightarrow F = 2V - P = 2(6,-3) -(3,2) \therefore F = \left ( 9,-8 \right )
Tendo em mãos a diretriz e o foco, aplicamos a definição de parábola para deduzir a equação. Agora, basta lembrar que a distância entre a reta Ax+ By+C = 0 e o ponto (a, b) é dada por:
\frac{|Aa + Bb + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
Assim, sabendo que a parábola é o lugar geométrico dos pontos que equidistam da diretriz e do foco, teremos, para todo ponto genérico (x, y) da parábola em questão:
\sqrt{\left ( x - 9 \right ) ^2 + \left ( y +8 \right )^2} = \frac{\mid 3x - 5y + 1\mid }{\sqrt{3^2 + 5^2}}
A igualdade acima já é a equação da parábola, mas o bom senso recomenda reduzi-la à forma simplificada:
25x^2 + 9y^2 + 30xy - 618x + 554y + 4929 = 0