Analíse Matemática

por ina Sáb 29 Ago 2009, 22:38

a)Verifique que as proposições abaixo são válidas para n = 1,2,3,4

i) P(n):(1 ao quadrado)+(2 ao quadrado)+(3 ao quadrado)+...(n ao quadrado)= n(n+1)(2n+1)/6

ii)P(n):(2 elevado a 2n)-1 é múltiplo de 3.

b) Usando o Teorema de indução, demonstre que as proposiçoes sãov´lidas para todo n pertence N*

Desde já agradeço Smile

por Jeffson Souza Dom 30 Ago 2009, 23:32

Irei provar por indução a "i".

i)P(n).

1²+2²+3²+4²+5²...+n²=n*(n+1)*(2n+1)/6

1)Para P(n) ser verdadeira n=1

2)Hipótese

1²+2²+3²+4²+5²...+n²=n*(n+1)*(2n+1)/6

Tese

1²+2²+3²+4²+5²...+n²+(n+1)²=n*(n+1)*(n+2)*(2n+3)/6

1²+2²+3²+4²+5²...n²+(n+1)²=n*(n+1)*(2n+1)/6+(n+1)²

1²+2²+3²+4²+5²...n²+(n+1)²=n*(n+1)*(2n+1)+6*(n+1)²/6

1²+2²+3²+4²+5²...n²+(n+1)²=n*(n+1)*(2n+1)+6*(n+1)*(n+1)/6

1²+2²+3²+4²+5²...n²+(n+1)²=(n+1)*[n*(2n+1)+6*(n+1)]/6

1²+2²+3²+4²+5²...n²+(n+1)²=(n+1)*[2n²+n+6n+6]/6

1²+2²+3²+4²+5²...n²+(n+1)²=(n+1)*[2n²+7n+6]/6

1²+2²+3²+4²+5²...n²+(n+1)²=(n+1)*[2n²+4n+3n+6]/6

1²+2²+3²+4²+5²...n²+(n+1)²=(n+1)*[2n*(n+2)+3*(n+2)]/6------------------->observe que (n+2) é fator comum.

1²+2²+3²+4²+5²...n²+(n+1)²=(n+1)*(n+2)*(2n+3)/6 c.q.d

Portanto,se a propriedade vale para n,também vale para n+1.Como foi verificado que vale para 1,então vale para todos x ∈ ℕ*.

ii)
1)Para P(n) ser verdadeira n=1

2)Hipótese

3|2^2n-1------>2 elevado a 2n menos 1 é multiplo de 3.

Tese.

3|2^[2*(n+1)]-1----->Também é multiplo de 3

2^(2n+2)-1

2^2n*2²-1

2^2n*4-1

4*2^2n-1

(3+1)*2^2n-1

3*2^2n+2^2n-1

3*2^n é multiplo de 3

2^2n-1 é multiplo de 3 por hipótese.c.q.d

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