MACK: Num cone circular reto de altura 4...

MACK) Num cone circular reto de altura 4, inscreve-se uma esfera de raio 3/2. O volume do cone é:

RESP oficial: 12pi

Não vou provar a fórmula para esse tipo de questão, mas você pode pesquisar para que, deste modo, possa entender melhor. Vamos lá:

     "a": raio da esfera inscrita no cone reto.

r = 3

Vc = (1/3)Sb.h    ---> Sb = pi.r² = pi9
= (1/3)9pi.4 = 12pi

Vamos provar o que o laurorio disse:

Desenhe um triângulo isósceles VAB (VA = VB) representando o cone (V é o vértice e AB o diâmetro da base).
Seja M o ponto médio da base AB
Desenhe uma circunferência de centro O, inscrita no cone, representando a esfera (passa por M).
Sejam N e P os  pontos de tangência dela com VA e VB. Trace OM, ON e OP, perpendiculares a AB, VA e VB, respectivamente

VM = h
AM + BM = r
OM = ON = OP = a

OV = VM - OM ---> OV = h - a

AV² = VM² + AM² ---> AV² = h² + r²

Triângulos retângulos ONV e e VMA são semelhantes:

ON/OV = AM/AV --> ON²/OV² = AM²/AV² -->  a²/(h - a)² = r²/(h² + r²) --> a²/(h² - 2ah + a²) = r²/(h² + r²)

a².(h² + r²) = r².(h² - 2ah + a²) ---> a²h² + a²r² = h²r² - 2ahr² + a²r² ---> h²r² - 2ahr² = a²h²

Dividindo tudo por a²h²r² ---> 1/a² - 2/ah = 1/r²

Notem que o laurorio esqueceu de digitar o expoente 2 em a². Mas o resto da solução dele está correto.

Obrigada pelas respostas.