Pesquisa de raízes

Olá.

É muito comum vermos equações do tipo ax³+bx²+cx+d, no entanto, em diversas resoluções que já vi, principalmente as da UNICAMP e da FUVEST, raramente é utilizado o método da pesquisa de raízes (o qual parece ser muito mais eficiente para achar as raízes do polinômio) para achar as raízes da equação acima. Normalmente, nesse caso, utiliza-se a fatoração. Alguém tem ideia do porquê o método da pesquisa de raízes é pouco usado? Ele é um método falho? Se eu utilizá-lo ao invés da fatoração eu perco pontos em questões discursivas?

Com método da pesquisa de raízes você quis dizer as equações de Girard? 
Bom, mas se for por cálculo número dá muito mais trabalho... 

   Se a questão pedir apenas as raízes da função, usando Girard ou fatoração não faz diferença, pois os dois métodos vão chegar no mesmo resultado.
   O que acontece é que geralmente essas questões são mais facilmente resolvidas por fatoração, pois já vem algo mais ou menos assim: 
 5x³ - 10x² - 2x + 4 = 0 

por fatoração fica assim:
 5x²(x-2) - 2(x-2)= 0
(x-2)(5x²-2) =0 
Ai só igualar cada parênteses a zero e já achamos as raízes:
x=2
x= +- V2/5 

Agora, quando usamos Girard para achar as raízes, vamos cair em um sistema de 3 eq e 3 incógnitas:
a + b + c = 2
ab + ac + bc = 2/5
abc = -4/5 

    Que vai dar um trabalhão resolver, mas as raízes tem que ser iguais... 
 Mas é importante saber os dois métodos, porque assim como tem questões que só podem ser resolvidas por Girard, também temos questões que só podem ser resolvidas por fatoração. 
  Nas dissertativas (salvo se ele pedir algum método) ai você escolhe se prefere resolver sistemas ou fatorar, se for possível fazer pelos dois casos.

Espero ter ajudado, qualquer coisa só falar! Bons estudos

Giovana

A pesquisa de raízes racionais, como você fez, é um método válido e aceito.

Entretanto, este método tem duas limitações:

1) Ele só vale SE existiram raízes racionais (se as raízes, forem, por exemplo √2, √3, etc., não vale)

2) Se  o termo independente de x for, por exemplo 32 e o coeficiente do termo de maior grau for 3, teremos MUITOS possíveis valores de raízes racionais:

± 1/3, 2/3, 1, 4/3, 2, 8/3, 4, 16/3, 8, 32/3, 16

Vai dar muito trabalho pesquisar

Na sua equação  λ³- 3.λ + 2 = 0, a partir do momento em que você descobriu que 1 era raiz, bastaria aplicar Briott-Ruffini para descobrir as outras DUAS raízes (uma equação do 3º grau tem 3 raízes):

__|1 .. 0 .. -3 .. 2
.1.|1 .. 1 .. -2 .. 0

Restou, como quociente, a equação x² + x - 2 = 0. Para esta equação basta aplicar Bháskara e descobrir que as raízes são 1 e -2

Assim as três raízes são 1, 1, -2 ---> Isto significa que a raiz 1 é dupla (isto você ainda não tinha descoberto)

Muito obrigada, Élcio. Eu realmente havia me esquecido que depois de acharmos uma raiz pelo método da pesquisa de raízes, imediatamente deveríamos utilizar Briott-Ruffini para "abaixar" o grau do polinômio. E de fato, em minha resolução sobre a questão acima, tem-se que o polinômio achado através do desenvolvimento do determinante tem 1 como raiz dupla .