(CN - 2002) Triângulo Eqüilátero

Considere um triângulo eqüilátero ABC, inscrito em um círculo de raio R. Os pontos M e N são, respectivamente, os pontos médios do arco menor AC e do segmento BC . Se a reta MN também intercepta a circunferência desse círculo no ponto P, P ≠ M, então o segmento NP mede:

(A) [(R√7)/(2)]

(B) [(3R√3)/(2)]

(C) [(3R√7)/(14)]

(D) [(R√5)/(7)]

(E) [(R√5)/(3)].

Opa, sei que o tópico tá bem velho, mas vocês poderiam me dizer onde eu errei na solução que fiz?

Liguei a reta que une o ponto P aos pontos B e C, fechando o triangulo PBC.

Chamei o lado PB de x e o ângulo BNP de a. como o angulo P tá inscrito no arco BAM, ele vale 90°.

Então o sen(a)=x/R(Raiz3)/2 = 2x/r(raiz3).

Pela lei dos senos no triangulo PNC: r(raiz3)/2/1/2=PC/2X/r(raiz3) <=> PC=2X.

Lei dos cossenos no triangulo BPC.
3r²=x²+4x²+2x.2x.1/2 <=>
3r²=7x² <=> x²=3r²/7.

Pitágoras no BPN: 3r²/7+PN²=3r²/4 <=> PN²=9r²/28 <=> PN=3r(raiz28)/28.

Desculpa ressuscitar o tópico, é que achei essa questão e não enxerguei aonde eu errei, ai gostaria que vocês me apontassem.

Obrigado

Você não errou, apenas não simplificou o que podia: