Como calcular a área de uma região irregular?
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Como calcular a área de uma região irregular?
Não sou da área, mas a matemática sempre desperta minha curiosidade. Daqui a 5, 10 anos, tenho certeza que ainda terei vontade de aprender coisas novas através do ângulo das ciências exatas.
Durante o colégio aprendi várias fórmulas para calcular formas geométricas, mas daí navegando pelo google maps me surgiu essa curiosidade. Como calcular uma área totalmente irregular com várias linhas sinuosas? Gostaria muito de aprender. Obrigado
Durante o colégio aprendi várias fórmulas para calcular formas geométricas, mas daí navegando pelo google maps me surgiu essa curiosidade. Como calcular uma área totalmente irregular com várias linhas sinuosas? Gostaria muito de aprender. Obrigado
calculus- Iniciante
- Mensagens : 1
Data de inscrição : 31/05/2015
Idade : 36
Localização : Brasil
Re: Como calcular a área de uma região irregular?
Quando temos um gráfico de uma função, é possível calcular a Integral, obtendo assim a área abaixo da curva.
Por exemplo:
Função y=x².
Integral: x³/3 (aqui você usa o Cálculo)
Num intervalo de 0 a 1 teríamos a seguinte área:
(1³/3) - (0³/3) = 1/3 u.a. (unidades de área)
No entanto, quando não há uma função diretamente relacionada, temos que:
- Achar uma função que tenha o gráfico parecido com a figura.
ou
- Dividir a figura em várias formas geométricas. Por exemplo, retângulos e triângulos.
Na figura que você mostrou, não é possível que exista uma função que represente aquele contorno. Isso porque uma reta vertical tocaria dois pontos do contorno, e isso impossibilita que haja uma função.
Manualmente, poderíamos fazer algo assim:
Pelo computador seria mais fácil. Programas conseguem preencher quase que a imagem toda e calcular a área com muita precisão.
Por exemplo:
Função y=x².
Integral: x³/3 (aqui você usa o Cálculo)
Num intervalo de 0 a 1 teríamos a seguinte área:
(1³/3) - (0³/3) = 1/3 u.a. (unidades de área)
No entanto, quando não há uma função diretamente relacionada, temos que:
- Achar uma função que tenha o gráfico parecido com a figura.
ou
- Dividir a figura em várias formas geométricas. Por exemplo, retângulos e triângulos.
Na figura que você mostrou, não é possível que exista uma função que represente aquele contorno. Isso porque uma reta vertical tocaria dois pontos do contorno, e isso impossibilita que haja uma função.
Manualmente, poderíamos fazer algo assim:
Pelo computador seria mais fácil. Programas conseguem preencher quase que a imagem toda e calcular a área com muita precisão.
PedroX- Administração
- Mensagens : 1041
Data de inscrição : 24/08/2011
Idade : 28
Localização : Campinas - SP
Re: Como calcular a área de uma região irregular?
Há o complicador de que a superfície terrestre é uma esfera (polêmicas, fora), contudo a escala desse mapa que você usou para exemplo é pequena e podemos considerar livre da interferência da esfericidade da Terra, portanto, área plana.
Para estes casos, tenho uma malandragem que dispensa matemática e computadores mas requer uma balança de precisão e aritmética.
Numa folha de papel, decalque a área desejada, chamo-mo-la S1. Decalque também um quadradinho da escala do mapa referente a 1km², será S2.
Recorte as duas áreas decalcadas e pese-as separadamente. A área desejada, em km², será o quociente dos pesos S1/S2.
Para estes casos, tenho uma malandragem que dispensa matemática e computadores mas requer uma balança de precisão e aritmética.
Numa folha de papel, decalque a área desejada, chamo-mo-la S1. Decalque também um quadradinho da escala do mapa referente a 1km², será S2.
Recorte as duas áreas decalcadas e pese-as separadamente. A área desejada, em km², será o quociente dos pesos S1/S2.
Medeiros- Grupo
Velhos amigos do Fórum - Mensagens : 10409
Data de inscrição : 01/09/2009
Idade : 72
Localização : Santos, SP, BR
Re: Como calcular a área de uma região irregular?
Medeiros escreveu:Para estes casos, tenho uma malandragem que dispensa matemática e computadores mas requer uma balança de precisão e aritmética.
Numa folha de papel, decalque a área desejada, chamo-mo-la S1. Decalque também um quadradinho da escala do mapa referente a 1km², será S2.
Recorte as duas áreas decalcadas e pese-as separadamente. A área desejada, em km², será o quociente dos pesos S1/S2.
Acredite: eu já fiz isso (profissionalmente) usando a balança de precisão do laboratório de controle de qualidade. Tratava-se de uma área (em mapa) extremamente irregular, cujo contorno preciso eu havia levantado topograficamente.
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In memoriam - Euclides faleceu na madrugada do dia 3 de Abril de 2018.
Lembre-se de que os vestibulares têm provas de Português também! Habitue-se a escrever corretamente em qualquer circunstância!
O Universo das coisas que eu não sei é incomensuravelmente maior do que o pacotinho de coisas que eu penso que sei.
Euclides- Fundador
- Mensagens : 32508
Data de inscrição : 07/07/2009
Idade : 74
Localização : São Paulo - SP
Re: Como calcular a área de uma região irregular?
Grande testemunho, Euclides. Obrigado.
Eu também já fiz algo parecido mas experimentalmente, controlado (para comparação com o real) nos tempos de faculdade, e usei balança de 12 dígitos de grama após a vírgula. Na ocasião, se bem me lembro, o erro percentual foi inferior a 6%. E o foi tão grande por dois motivos principais: não me esmerei no recorte da área; e usei um quadradinho de referência muito menor do que a área a ser medida.
Eu também já fiz algo parecido mas experimentalmente, controlado (para comparação com o real) nos tempos de faculdade, e usei balança de 12 dígitos de grama após a vírgula. Na ocasião, se bem me lembro, o erro percentual foi inferior a 6%. E o foi tão grande por dois motivos principais: não me esmerei no recorte da área; e usei um quadradinho de referência muito menor do que a área a ser medida.
Medeiros- Grupo
Velhos amigos do Fórum - Mensagens : 10409
Data de inscrição : 01/09/2009
Idade : 72
Localização : Santos, SP, BR
Re: Como calcular a área de uma região irregular?
Eu me lembro do problema de precisão. A gramatura do papel precisa ser estabelecida com a melhor precisão possível e lembro-me de ter usado três quadrados de tamanhos diferentes (em balança de alta precisão) e tomado a gramatura média para o cálculo.
Lembrei-me agora de outro instrumento que usei muito: o planímetro. Trata-se de um inteligente equipamento que, com o uso de engrenagens, faz a leitura (integração) da área percorrida pelo visor. A outra haste é fixa no papel
planímetro analógico, como o que usei. Abaixo um moderno e digital
Lembrei-me agora de outro instrumento que usei muito: o planímetro. Trata-se de um inteligente equipamento que, com o uso de engrenagens, faz a leitura (integração) da área percorrida pelo visor. A outra haste é fixa no papel
planímetro analógico, como o que usei. Abaixo um moderno e digital
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Euclides- Fundador
- Mensagens : 32508
Data de inscrição : 07/07/2009
Idade : 74
Localização : São Paulo - SP
Re: Como calcular a área de uma região irregular?
Sinto uma certa nostalgia lendo o que dizem e dá até gosto de ver
Por que agora não usa mais, Euclides? E se 6% era um erro grande, quanto era o esperado?
Por que agora não usa mais, Euclides? E se 6% era um erro grande, quanto era o esperado?
Ashitaka- Monitor
- Mensagens : 4365
Data de inscrição : 12/03/2013
Localização : São Paulo
Re: Como calcular a área de uma região irregular?
Vocês também terão seus problemas profissionais e também darão soluções criativas a eles e um dia contarão num fórum, talvez...Ashitaka escreveu:Sinto uma certa nostalgia lendo o que dizem e dá até gosto de ver
Por que agora não usa mais, Euclides? E se 6% era um erro grande, quanto era o esperado?
Ocupei-me diretamente desses problemas enquanto fui geólogo de campo. Posteriormente, à medida em que ocupava posições gerenciais, os desafios passaram a ser outros e outras pessoas passaram a cuidar deles.
Quanto ao erro, isso depende de três coisas:
1- das exigências reclamadas pelo próprio trabalho
2- das restrições práticas que se enfrentam
3- dos custos envolvidos em melhorar a precisão
existem métodos estatísticos que podem ser usados a fim de estabelecer uma relação entre a precisão requerida e o grau de confiança que se vai depositar nos resultados obtidos. Ao avaliar jazidas com minérios de teores altos e relativamente de pequena variabilidade eu geralmente trabalhei com duas etapas:
1- preliminar: com 20% de erro e confiança de 90%
se esses resultados indicassem viabilidade econômica, podia-se investir mais com menor risco
2- detalhamento: 5% de erro e confiança de 95%
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In memoriam - Euclides faleceu na madrugada do dia 3 de Abril de 2018.
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Euclides- Fundador
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Data de inscrição : 07/07/2009
Idade : 74
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