analise combinatoria

Os elementos de uma matriz 4x4 são números inteiros. Os elementos
dessa matriz que não pertencem à diagonal principal nem à última coluna
são iguais a zero. Todos os outros elementos da matriz são não nulos,
distintos dois a dois, e estão no intervalo [3, 18]. Sabe-se ainda que os
elementos da diagonal principal são números ímpares e os da última
coluna são números primos. O número de matrizes com essas
características é igual a:
a) 9260 b) 8640 c) 7380 d) 6140 e) 5320
R:b

Olá, Leticia.

Como esse problema ficou tanto tempo sem resposta? Vamos lá.

Na última coluna devemos colocar 4 números primos. No intervalo [3,18] existem 6 primos (3, 5, 7, 11, 13 e 17). 
Note que são todos ímpares. Como a posição do elemento na matriz é importante, faremos um arranjo de 6 elementos tomados 4 a 4 :  A6,4 = 6! / 2! = 360 .

Após preenchermos essa coluna, devemos completar a diagonal principal com 3 números ímpares, sendo que nos restaram 4 deles (os dois primos não utilizados na última coluna, o 9 e o 15) . Mais uma vezes, trabalhamos com arranjo :  A4,3 = 4! / 1! = 24 .

Portanto, temos um total de 360 x 24 = 8640 formas diferentes de completar a matriz.

Abraço.