Combinatoria 1

Considere os números de 10.000 a 30.000. Em quantos números o algarismo 2 aparece exatamente 3 vezes?

Começando com 1 ----> 1 possibilidade

Dispondo os três algarismos 2----> C(4, 3) = 4 possibilidades

Dispondo o outro algarismo = 9 possibilidades (não pode ser 2)


Começando por 2 ----> 1 possibilidade

Dispondo os outros dois algarismo 2 -----> C(4, 2) = 6 possibilidades

Dipondo os outros dois algarismos = 9*9 = 81 possibilidades

N = 1*4*9 + 1*6*81 ----> N = 522

Hola Elcio.

Veja a minha solução:

Temos 10 dígitos: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Primeiro, observe que os números que são (estritamente) menores que 30.000 começam com os algarismos 1 ou 2, certo? Além disso, queremos que esses números tenham (exatamente) 3 algarismos 2.

Temos 5 celas, a saber: __ __ __ __ __

na 1.ª cela podemos colocar o número 1, assim:

_1_ __ __ __ __, sobram 4 celas para colocarmos os três 2, assim:
_1_ __ _2_ _2_ _2_, nessas 4 celas eles podem permutar entre si de C4,3 = 4 maneiras. Além disso na cela vazia podemos colocar os 9 algarismos com repetição, exceto o 2. Correto?

Logo: 4*9 = 36

Usando o 2 na 1.ª cela, temos:

_2_ __ __ _2_ _2_, nesse caso o 2 fica fixo na 1.ª cela e os dois restantes permutam nas 4 celas vazias entre si de C4,2 = 6 maneiras. Além disso nas duas celas vazias podemos colocar 9*9 = 81 algarismos com repetição, exceto o 2.

Então: 6*81 = 486, portanto:

36 + 486 = 522

Paulo

Você está coberto de razão meu amigo: eu considerei erradamente os números começando por 3. Vou editar minha mensagem.

Elcio

Hola Elcio.

Nada disso tira o brilho da sua resolução, apenas mostra a grandeza da sua pessoa.