Produto escalar e vetorial

Sendo os vetores os vetores u(3,1,1), v(4,1,3) e w(1,4,0) determinar o vetor z = (x; y; z) de modo que z seja perpendicular  a w e z(vetorial)u = v

TENTATIVA DE RESOLUÇÃO:

Como z é perpendicular a w, temos que o produto escalar entre eles é 0
(x,y,z)•(1,4,0) = 0, o que resulta em:

x+4y = 0

a) x=-4y 


Agora sabendo que z vetorial u é igual a v e achando o resultado do produto vetorial temos:
z(vetorial)u = v

(y-z, 4y+3z, -7y) = (-4,1,3) (aplicando "determinante")

b) y - z = -4
c) 4y + 3z = 1
d) -7y = 3

Pela equação d temos que y = -3/7

Substituindo em a, temos:

x=12/7

Dai substituindo y em b) achamos que z = 25/7

mas se substituirmos y em c achamos que z = 19/21

Não entendi isso de ter dois valores pra z, qual é o correto e porque?  

No produto escalar não deweria ser :

z.w = ( x, y, z ).( 4, 1, 0 ) ?

Jose Carlos escreveu:No produto escalar não deweria ser :

z.w = ( x, y, z ).( 4, 1, 0 ) ?

Na verdade w = (1,4,0)
Eu digitei errado quando tava postando a questão...