Matemática

por LucasHenryBecker Sex 30 Jan 2015, 05:24

Encontre o mínimo de x² + y² + z², quando x³ + y³ + z³ -3xyz = 1.

por **Carlos Adir** Sex 30 Jan 2015, 12:24

$\\ x^3+ y^3+z^3-3xyz=1 \ \Rightarrow \left(x+y+z \right )\left(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz \right )=1 \\ \Rightarrow \left(x+y+z \right )\left(x^2+y^2+z^2 \right )=1+\left(x+y+z \right )\left(xy+xz+yz \right ) \\ \Rightarrow \left(x+y+z \right )\left(x^2+y^2+z^2 \right )=1+\left(x+y+z \right )\left(x \cdot \dfrac{y+z}{2}+ y\cdot \dfrac{x+z}{2}+z \cdot \dfrac{x+y}{2} \right ) \\ x^2+y^2+z^2 = \dfrac{1}{x+y+z} + x \cdot \left(\dfrac{y+z}{2} \right )+y\cdot \left(\dfrac{x+y}{2} \right) + z \left(\dfrac{x+y}{2} \right )$
Pela desigualdade das médias temos:
(y+z)/2 ≥ √(yz)
Deste modo, aplicando aos demais, temos:
$\\ x \left(\dfrac{y+z}{2} \right )+y \left(\dfrac{x+y}{2} \right) + z \left(\dfrac{x+y}{2} \right ) \ge x\sqrt{yz}+y\sqrt{xy}+z\sqrt{xy}$
Assim:
$\\ x^2+y^2+z^2 \ge \dfrac{1}{x+y+z}+ x\sqrt{yz}+y\sqrt{xy}+z\sqrt{xy}$
Como queremos o valor mínimo, o valor mínimo será no caso da igualdade. E sabe-se que pela desigualdade das médias, que a igualdade só ocorre quando todos os termos são iguais, isto é, x=y=z.
$\\ x^2+y^2+z^2 = \dfrac{1}{x+y+z}+ x\sqrt{yz}+y\sqrt{xy}+z\sqrt{xy} \\ x^2+y^2+z^2 = \dfrac{1}{3x}+x \sqrt{x \cdot x}+x \sqrt{x \cdot x} + x \sqrt{x \cdot x}\\ x^2+y^2+z^2 = \dfrac{1}{3x}+3x=\dfrac{9x^2+1}{3x}$
Assim, o valor mínimo que assume é:
$x^2 + y^2 + z^2 = \dfrac{1}{\left(x+y+z \right )}+\left(x+y+z \right ) = \dfrac{1}{a}+a$
Da desigualdade das médias, temos que:
$\dfrac{1}{a}+a \ge 2$