Teorema do Confronto III

por L.Lawliet Sex 12 Dez 2014, 19:44

Prove:

$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h)}{h}=0\Leftrightarrow \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h)}{\left |h \right |}=0$

por **Jader** Sex 12 Dez 2014, 22:02

$-h\leq |h|\leq h\Rightarrow \frac{1}{h}\leq \frac{1}{|h|}\leq- \frac{1}{h}\Rightarrow\frac{f(h)}{h}\leq \frac{f(h)}{|h|}\leq- \frac{f(h)}{h}$

Aplicando limite em todos os membros da desigualdade quando h tende a zero, teremos:

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(h)}{h}\leq\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(h)}{|h|}\leq- \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(h)}{h}$

Agora se $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(h)}{h}=0$ , então temos que:

$0\leq \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(h)}{|h|}\leq 0$

E pelo teorema do confronto temos que

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(h)}{|h|}= 0$

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