Teorema do Confronto

Seja f definida em R e suponha que existe M>0 tal que, para todo x, |f(x) - f(p)| ≤ M |x - p|².


a) Mostre que f é contínua em p.

b) Calcule, caso exista 

a) |f(x) - f(p)| ≤ M|x - p|² --> -M|x - p|² ≤ f(x) - f(p) ≤ M|x - p|² --> f(p) - M|x - p|² ≤ f(x) ≤ f(p) + M|x - p|²


lim[x→p+] (f(p) - M|x - p|²) = f(p) - M|p - p|² = f(p)
lim[x→p+] (f(p) + M|x - p|²) = f(p) + M|p - p|² = f(p)

.:. Pelo teorema do confronto, lim[x→p+] f(x) = f(p).


lim[x→p-] (f(p) - M|x - p|²) = f(p) - M|p - p|² = f(p)
lim[x→p-] (f(p) + M|x - p|²) = f(p) + M|p - p|² = f(p)

.:. Pelo teorema do confronto, lim[x→p-] f(x) = f(p).


Como lim[x→p+] f(x) = lim[x→p-] f(x) = f(p), concluímos que f é contínua em p.




b) -M|x - p|² ≤ f(x) - f(p) ≤ M|x - p|² --> (-M|x - p|²)/(x - p) ≤ (f(x) - f(p))/(x - p) ≤ (M|x - p|²)//(x - p)


lim[x→p+] (-M|x - p|²)/(x - p) = lim[x→p+] (-M(x - p)²)/(x - p) = lim[x→p+] -M(x - p) = 0
lim[x→p+] (M|x - p|²)/(x - p) = lim[x→p+] (M(x - p)²)/(x - p) = lim[x→p+] M(x - p) = 0

.:. Pelo teorema do confronto, lim[x→p+] (f(x) - f(p))/(x - p) = 0.


lim[x→p-] (-M|x - p|²)/(x - p) = lim[x→p-] (-M(-x + p)²)/(x - p) = lim[x→p-] -M(x - p) = 0
lim[x→p-] (M|x - p|²)/(x - p) = lim[x→p-] (M(-x + p)²)/(x - p) = lim[x→p-] M(x - p) = 0

.:. Pelo teorema do confronto, lim[x→p-] (f(x) - f(p))/(x - p) = 0.


Como lim[x→p+] (f(x) - f(p))/(x - p) = lim[x→p-] (f(x) - f(p))/(x - p) = 0, então:
lim[x→p] (f(x) - f(p))/(x - p) = 0

Obrigado.