Teorema do Confronto

por L.Lawliet Sex 12 Dez 2014, 19:36

a) Verifique que lim_x→0sen(1/x) não existe.

b) Calcule, caso exista, lim_x→0x.sen(1/x) e justifique ............ Resposta: 0

Pessoal, eu consigo responder atravas de um grafico mas gostaria de saber como resolver pela definição formal do Teorema do Confronto.

Valeu!!

por **Jader** Sex 12 Dez 2014, 21:31

$-1<sen(\frac{1}{x})<1\Rightarrow \lim_{x\rightarrow 0}-1<\lim_{x\rightarrow 0}sen(\frac{1}{x})<\lim_{x\rightarrow 0}1\Rightarrow -1<\lim_{x\rightarrow 0}sen(\frac{1}{x})<1$

Pelo Teorema do confronto esse limite não existe.

$\lim_{x\rightarrow 0}xsen(\frac{1}{x})=0$

Porque? Ora, -1< sen(1/x) < 1 é uma função limitada, então quando se tem um limite de uma função limitada multiplicada por uma que vai pra zero, então o limite dará zero.

por **Jader** Sex 12 Dez 2014, 21:38

No item (b) pensando pelo teorema do confronto ficaria dessa forma:

$-1\leq sen(\frac{1}{x})\leq 1\Rightarrow -x\leq xsen(\frac{1}{x})\leq x$

Aplicando limite quando x tende a zero em todos os membros da desigualdade, teremos:

$\lim_{x\rightarrow 0} -x\leq\lim_{x\rightarrow 0} xsen(\frac{1}{x})\leq \lim_{x\rightarrow 0}x\Rightarrow0\leq\lim_{x\rightarrow 0} xsen(\frac{1}{x})\leq 0$

Logo, pelo teorema do confronto

$\lim_{x\rightarrow 0} xsen(\frac{1}{x})=0$

por L.Lawliet Sáb 13 Dez 2014, 10:51

Ah, saquei Jader. Valeu pelas questões!!

por Man Utd Sáb 13 Dez 2014, 14:28

Jader escreveu: $-1<sen(\frac{1}{x})<1\Rightarrow \lim_{x\rightarrow 0}-1<\lim_{x\rightarrow 0}sen(\frac{1}{x})<\lim_{x\rightarrow 0}1\Rightarrow -1<\lim_{x\rightarrow 0}sen(\frac{1}{x})<1$

Pelo Teorema do confronto esse limite não existe.

$\lim_{x\rightarrow 0}xsen(\frac{1}{x})=0$

Porque? Ora, -1< sen(1/x) < 1 é uma função limitada, então quando se tem um limite de uma função limitada multiplicada por uma que vai pra zero, então o limite dará zero.

Olá

A resposta está errada, pois o teorema do confronto não serve pra mostrar a Inexistência de um limite e sim o valor de um limite quando o msm existe.Então o que devemos fazer nesse caso é usar a definição formal de limites:

$\\\\\\ |x|<\delta \;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; \left|\sin \left( \frac{1}{x} \right)-L \right|<\epsilon$

E essa relação entre delta e epsilon deve ser verdadeira, mas se fizer :

$\\\\\\ x=a=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2n\pi}$

com "n" natural.

teremos :

$\\\\\\ |a|<\delta \;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; \left| \sin \left( \frac{1}{a} \right ) -L \right|<\epsilon \\\\\\ |a|<\delta \;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; \left| \sin\left( \frac{\pi}{2}+2n\pi \right ) -L \right|<\epsilon \\\\\\ |a|<\delta \;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; \left| 1 -L \right|<\epsilon \;\;\;\; (1)$

ou ainda se fizermos :

$\\\\\\ x=b=\frac{1}{\pi+2n\pi}$

com "n" natural.

logo:

$\\\\\\ |b|<\delta \;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; \left| \sin \left(\frac{1}{b} \right ) -L \right|<\epsilon \\\\\\ |b|<\delta \;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; \left| \sin\left( \pi+2n\pi \right ) -L \right|<\epsilon \\\\\\ |b|<\delta \;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; \left|-L \right|<\epsilon \;\;\;\; (2)$

Logo vc não consegue encontrar uma relação entre delta e epsilon que atenda ao msm tempo a (1) e (2).Simbolizando que o limite não existe.

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