Equação do 2º grau

por Darienzo Seg 06 Out 2014, 11:00

Determine m na equação do 2º g. (3m – 2)x² + 2mx + 3m = 0, para que tenha uma única raíz entre -1 e 0.

por **Carlos Adir** Seg 06 Out 2014, 12:00

Veja que é uma equação de segundo grau.
$(3m-2)x^2+2mx+3m =0$
Veja que se m>(2/3), teremos uma função crescente, e dado os valores:
(3m-2) > 0; (2m)>0, 3m >0
Assim, não teremos uma solução para m>(2/3)

E caso todos os valores forem negativos, então
(3m-2)<0, 2m<0, 3m<0
E então não teria solução também.

E não podemos admitir o valor de (2/3), pois a anularia a equação de segundo grau.
Assim:
$0 \le m<\dfrac{2}{3}$

Veja que só tem um ponto de encontro, assim, o valor de Delta equivale a zero.
Portanto:
$\\ \Delta = b^2 - 4ac \\ 0 = (2m)^2 - 4 \times (3m-2) \times (3m)\\ 4m^2-12m(3m-2)=0 \\ 4m^2-36m^2+24m=0\\ 32m^2-24m=0\\4m^2-3m = 0\\ m(4m-3)=0\\ m_1=\dfrac{3}{4} \leftrightarrow m_2=0$
Assim, m=0

Pra saber se cumpre, podemos descobrir o valor de x quando toca no ponto y=0
$\\(3m-2)x^2+2mx+3m =0\\x=\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\\ x=\dfrac{-2m}{2(3m-2)}\\ x=\dfrac{m}{2-3m}$
Se a solução está entre -1 e 0, então:
$\\-1 \le x \le 0 \\ x_1 =-1\\ -1 = \dfrac{m}{2-3m}\\ m=3m-2\\ m=1\\ x_2 = 0 \\ 0 = \dfrac{m}{2-3m}\\ 2-3m \ne 0\\ m \ne \dfrac{2}{3}\\ 0=\dfrac{m}{2-3m}\\ m=0$

Portanto, m só pode ser 0. E então a equação fica com cara:
$\\(3 \times 0 - 2)x^2 + 2(0) x + 3 (0) = 0\\ -2x^2=0$