Cores da bandeira

possuímos seis cores para pintarmos uma bandeira, de modo que regiões vizinhas não possuam a mesma cor. De quantas formas podemos fazê-lo?
a bandeira é um retângulo dividido em 4 retângulos menores por meio de uma 'cruz' central

resposta 630

Sua descrição dá margem a mais de uma interpretação. POr favor poste a figura (escaneada ou fotografada).

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I                 I                  I
I                 I                  I
I-------------------------------I                
I                 I                  I
I__________I___________I

dá assim?

Eu resolvi essa questão utilizando os dados fornecidos, mas depois vi que seria mais interessante fazer para um caso geral onde dispomos de λ cores.

Sejam os "quadrantes" da bandeira (imagine a cruz separando-os, claro):
1     2
3     4

i) O primeiro e quarto quadrantes têm a mesma cor.
ii) O primeiro e quarto quadrantes têm cores diferentes.

i) λ modos de pintar o primeiro e quarto da mesma cor, λ-1 de pintar o terceiro e λ-1 de pintar o segundo. Total: λ(λ-1)² modos.
ii) λ modos de pintar o primeiro, λ-1 de pintar o terceiro, λ-2 de pintar o segundo e λ-2 de pintar o terceiro. Total: λ(λ-1)(λ-2)²
A resposta é a soma do total dos casos i e ii, que dá:
λ(λ-1)(λ-1+λ²-4λ+4) = λ(λ-1)(λ²-3λ+3)
Substituindo o 6 no lugar do λ, você deve encontrar os mesmos 630 dali.

Uma outra maneira de pensar é a seguinte:
Permita que o primeiro e terceiro quadrantes tenham a mesma cor. Nesse caso, há λ formas de pintar o primeiro, λ-1 o segundo, λ-1 de pintar o terceiro e λ-1 de pintar o quarto. Total: λ(λ-1)³.
Mas agora temos de descontar os casos em que o primeiro e terceiro tiveram a mesma cor. Nesse caso, consideramos o primeiro e terceiro como um só, que pode ser pintado de λ cores, o segundo poderá ser pintado de λ-1 cores e o quarto de λ-2 cores. Total: λ(λ-1)(λ-2)
A resposta é o primeiro total menos o segundo:
λ(λ-1)[(λ-1)²-(λ-2)] = λ(λ-1)(λ²-3λ+3)
que é a mesma resposta encontrada na solução anterior.

Para treinar, use o mesmo raciocínio mas agora utilizando 6 no lugar de λ e encontrará seus 630. Caso não consiga, retorne aqui para maior auxílio no seu caso específico onde λ = 6.

obrigada

ThaisP, desculpe se soar rude a minha pergunta, mas você sequer leu a solução?

Hola ThaisP.

Bem didática a solução do Hgp2102.  Vou tentar de outra maneira mais visual, veja:


No retângulo A podemos pintar os Q ímpares (1,3) da mesma cor e os Q pares (2,4) de uma outra mesma cor. Isso pode ser feito de:
6*5 = 30 maneiras diferentes

No retângulo B podemos pintar os Q ímpares da mesma cor e os Q pares de cores diferentes. Isso pode ser feito 6*5*4 = 120 maneiras diferentes. 
Ainda podemos pintar os Q ímpares de cores diferentes e os Q pares de uma mesma cor, o que pode ser feito de 6*5*4 = 120 maneiras.

No retângulo C podemos pintar todos o Qs de cores diferentes. Isso pode ser feito de:
6*5*4*3 = 360

Total: 30 + 120 + 120 + 360 = 630

Hgp2102 você realmente foi rude
é lógico que eu li também e entendi

Escrevi uma grande solução e quando voltei ao tópico você não tinha deixado nenhuma dúvida, apenas uma resposta monossilábica (desculpe, mas até o Paulo que não tem a ver com a minha solução fez um comentário sobre a solução) que me foi bem estranha à primeira vista, me deixando em dúvida se você realmente leu/entendeu (pois geralmente as pessoas comentam que entenderam, e este problema de λ cores não é tão intuitivo a primeira vista). Mas como eu havia dito: "desculpe se soar rude", o que quer dizer que não foi a intenção, embora você ache que sim.