Sistema de Grau Superior IV

Calcule um valor de "x" no sistema.

•x(x+y)(x+2y)(x+3y)=4
•(x+y)²+(x+2y)²=4

A resposta é [3√(6)+2] /√(5)

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Se nao me engano, a equação parece estar errada, mas fiquei meio receoso

Olá, Luiz.

Na segunda equação:

Note que 4 = √2² + √2². Assim:

x+y = √2 .:. x = √2-y 
x+2y = √2 .:. √2-y+2y = √2 .:. y = 0 --> x = √2

que é uma das soluções

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Abraços,
Pedro

Valeu Pedro!

Estranho, a ultima vez que poste uma equação com 3 igualdades no wolframalpha tinha dado erro.

Pedro, apesar de ser uma solução, 4 = √2² + √2² não implica em x+y = √2 e x+2y = √2 , a segunda equação isolada possui infinitas soluções..

Sim. Mas x+y = √2 e x+2y = √2 é uma delas

PedroCunha escreveu:Sim. Mas x+y = √2 e x+2y = √2 é uma delas

sim,como a questão pede um valor então qualquer encontrado por chute é válido. Só quis te dizer que uma coisa não implica na outra já que vc escreveu 'Assim' achei que tivesse fazendo uma conclusão..

Entendi. Foi por chute mesmo; não foi a solução algébrica.

Aliás, como ficaria?

PedroCunha escreveu:Entendi. Foi por chute mesmo; não foi a solução algébrica.

Aliás, como ficaria?

se tiver uma solução algébrica não trabalhosa não deve ser nada trivial.. amanhã vou ver se tento, caso apareça alguma ideia posto, boa noite!

ps. luiz, caso a questão tenha alternativas não esqueça de postá-las junto com o enunciado..

As alternativas são:

a)-1/2
b)-2
c)√3
d)(3√6+2)/√5
e)(3√6-1)/√2

x(x+y)(x+2y)(x+3y)=4
(x+y)²+(x+2y)²=4

 :idea: Note que (x, x+y, x+2y ,x + 3y) formam uma P.A de razão y. Neste caso, uma boa ideia seria escrever uma P.A de quatro termos na forma (a-3r, a-r, a+r, a+3r) que é útil tanto para soma de todos os elementos (pois a razão corta), ou soma dos quadrados dos termos das extremidades ( o termo 'ar' corta) ou produto de todos os elementos (que aparece diferença de quadrados)... assim, sejam:
x = a-3r ; x+y = a-r ; x+2y = a+r ; x + 3y = a + 3r , temos:

(a-3r)(a-r)(a+r)(a+3r)= 4
(a-r)² + (a+r)² = 4

(a²-9r²)(a²-r²) = 4 (i)
2(a²+r²)= 4 ∴ a² = 2 - r² (ii)

substituindo (ii) em (i) :
(2-10r²)(2-2r²) = 4
(1-5r²)(1-r²) = 1
1 - r² -5r² + 5r^4 = 1
5r^4 -6r² = 0
r²(5r²-6) = 0
r² = 0 ou r² = 6/5

se r = 0 :
a² = 2-0 ∴ a = ±√2
x = a - 3r
x = ±√2

se r = ±√(6/5) :
a² = 2 - (6/5) ∴ a = ±2/√5
x = a - 3r
x = ± (2/√5 ) ∓ 3(√(6/5)

possíveis valores de x:
√2 , -√2 , (3√6 +2)/√5 , (3√6-2)/√5 , (-3√6+2)/√5 , (-3√6-2)/√5

obs. luiz, não esqueça: as alternativas também fazem parte da questão, sempre que tiver poste-as junto com enunciado e não apenas o gabarito (regra XI).