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Mensagem por L.Lawliet em Dom 27 Jul 2014, 22:25

Calcule um valor de (x) no sistema.

•√(x²+12y) +√(y²+12x)=33
•(x+y)=23

A resposta é (10)


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Sistema de Grau Superior II Empty Re: Sistema de Grau Superior II

Mensagem por PedroCunha em Dom 27 Jul 2014, 23:56

Olá, Luiz.

Como fala apenas um valor de x:

x+y = 23 .:. x+y = 10 + 13 ou x+y = 13 + 10 --> x = 10 e y = 13 ou vice-versa

testando para ver se serve:

√(100 + 156) + √(169 + 120) = 33 .:. 33 = 33 (OK)
√(169 + 120) + √(100 + 156) = 33 .:. 33 = 33 (OK)

Logo,  x = 10 e y = 13 ou x = 13 e y = 10 são soluções.

Tentei várias vezes por álgebra mas não saiu de jeito nenhum.

Abraços,
Pedro
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Mensagem por L.Lawliet em Seg 28 Jul 2014, 07:57

Ah, valeu Pedro! Mas caso consiga fazer por algebra depois, poderia postar aqui?


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Sistema de Grau Superior II Empty Re: Sistema de Grau Superior II

Mensagem por PedroCunha em Seg 28 Jul 2014, 08:25

Claro.
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Sistema de Grau Superior II Empty Re: Sistema de Grau Superior II

Mensagem por L.Lawliet em Ter 29 Jul 2014, 21:07

Pedro, tentei fazer dessa forma, apesar de ser muito longa, chegou a um "resultado".

•√(x²+12y) +√(y²+12x)=33.............(I)
•(x+y)=23.....................................(II)

Fazendo (I)²→  (x²+y²) + 12(x+y)+2√[(xy)²+12(x³+y³)+12xy]=33²

Seja x²+y²=a e xy=b

(a) + 12(23)+2√[(b)²+12(23)(a-b)+12b]=33²

2√[b²+276a-264b]=813-a → elevando ao quadrado→

4(b²+276a-264b)=(813)²-1626a+a²

Trabalhando em II, tem-se: 23²=a+2b→ 23²-2b=a , substituindo e reduzindo, tem-se

https://www.wolframalpha.com/input/?i=4*%28b%5E2%2B276*%2823%5E2-2*b%29-264*b%29%3D%28813%29%5E2-1626*%2823%5E2-2*b%29%2B%2823%5E2-2*b%29%5E2

que b=572/5→ xy=572/5

(x+y)=23
xy=572/5

Mas me levou a uma resposta diferente do gabarito: https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28572%29%2F%285x%29%2Bx%3D23

Mesmo sabendo que a resolução é pessima, deveria levar a mesma resposta,não? Ou eu fiz algo de errado?

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Mensagem por Luck em Qua 30 Jul 2014, 00:22

Como ambos os lados são positivos podemos elevar ao quadrado:
(x²+12y) + (y²+12x) + 2√[(x²+12y)(y²+12x)] = 23²
(x²+y²) + 12(x+y) + 22√( x²y² + 12x³+12y³ + 144xy ) = 1089
(x+y)² - 2xy + 12(x+y) + 2√[x²y² + 12(x³ +y³) + 144xy] =  1089
(x+y)² - 2xy + 12(x+y) + 2√[(xy)² + 12(x+y)( (x+y)²-3xy)) +144xy] = 1089
xy = t
23² - 2t + 12.23 + 2√[t² + 12(23)( (23²-3t)) + 144t] = 1089
529 - 2t + 276 + 2√[t² + 276(529-3t) +144t ] = 1089
2√[t² + 276(529-3t) +144t ] = 284 + 2t
√[t² + 146004 -828t + 144t] = 142 + t
√(t² - 684t + 146004) = 142 + t , t ≥ -142 , elevando ao quadrado novamente:
t² -684t + 146004 = 20164 + 284t + t²
968t = 125840
t = 12584/968
t = 130
xy = 130

considere a equação u² - Su + P = 0 de raízes x e y . 
u² - 23u + 130 = 0
u = 10 ou u = 13

Logo, S = {(10,13);(13,10) } 

obs. luiz, coloquei em vermelho um erro de conta no seu desenvolvimento..
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Mensagem por L.Lawliet em Qua 30 Jul 2014, 06:53

Ah, valeu Luck!

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