Prove que Raiz de X² = |X|

por Maxuel Sáb 22 Mar 2014, 00:52

Relembrando a primeira mensagem :

Eu sei que essa discussão já foi abordada aqui e em vários outros fóruns, ocorre que para eu assimilar e concordar com algo, não me basta guardar uma regra e sim entendê-la. Alguém poderia provar-me/explicar-me por que motivo, razão, causa ou circunstância Raiz de X² = |X| ??

Veja meu modo de pensar:
Ex:

Raiz[(-9)²] = |9| ?
Ok, pode ser => Raiz[81] = 9. Ok

Por outro lado: Raiz[(-9)²] = (-9)²/² = (-9)¹ = -9

Nessa linha re raciocínio, Raiz[(-9)²] não seria +/- 9? :scratch:

por VICTORCALEBE Qua 03 maio 2017, 17:16

Ashitaka escreveu:A verdade é que parece haver discórdia sobre a definição de raiz quadrada. Por exemplo, de uma fonte confiável: http://mathworld.wolfram.com/SquareRoot.html
temos: Note that any positive real number has two square roots, one positive and one negative.

Aplicando a definição de raiz é a dada pelo wolfram, a raiz quadrada de x é um número r tal que x = r². Dessa forma, a raiz de 16 é um número r tal que r² = 16 e, portanto, é +- 4.

Contudo, até onde sei em livros de Variáveis Complexas ou Análise Complexa há uma definição em R e outra em C, assim como é feito no Iezzi. O verdadeiro problema está no que o símbolo √ representa.

Se você pegar o Iezzi vol. 2:

Se pegar o vol. de Complexos:

Note que da primeira definição, se a = 4, b = 2, necessariamente.
Da segunda, se a = 4, b = 2 ou b = -2.

Observe também a sutileza das definições: a primeira é chamada de raiz enésima artimética enquanto a segunda é chamda só de raiz.

Assim, a resposta de √4 dependerá de qual conjunto está sendo considerado, R ou C. Como o costume é sempre trabalhar em R e, nos exercícios, C - R fica renegado a exercícios específicos do assunto, resta escrever que √4 = 2, pois provavelmente é a intenção de quem perguntou (e que não dirá raiz artimética).

A solução não é a mesma?, tanto no conjunto dos reais, como dos complexos?

por guilherme.resende2 Sex 15 Jun 2018, 08:01

Tem dias que algo tão "elementar", do nada, torna-se inaceitável pra gente. Pra conseguir aceitar que raiz quadrada de um número deve ser positivo eu usei propriedade de módulo tal que:

√a = b ⇔ b² = a ⇒ √b² = b
para garantir que, por exemplo, raiz quadrada de 9 seja apenas 3 e não 3 ou -3, isto é, b positivo, lembre da propriedade |x|²= x², portanto:
√b² = b ⇒ √|b|² = b ⇒ |b|^2.(1/2) = b ⇒ |b| = b
Pela definição de módulo, |x| ≥ 0, logo a operação só é válida se b ≥ 0, o que garante que pela definição de raiz quadrada o resultado deve ser maior ou igual a 0.