Questão de Fatorial do Peru

por vncvale Sáb 01 Mar 2014, 16:34

Olá pessoal, aqui esta uma questão de fatorial que gostaria que vocês resolvessem pra mim (Também não consegui achar seu gabarito):
(Peru) Sabendo que a expressão:
$Questão de Fatorial do Peru Gif.latex?%5Csqrt%7B%28x%29%5Csqrt%5B3%5D%7B%28x%5E%7B2%7D%29%5Csqrt%5B4%5D%7B%28x%5E%7B3%7D%29%5Csqrt%5B5%5D%7B%28x%5E%7B4%7D%29.....$
tem infinitos termos e pode ser representada da seguinte forma xⁿ. Então o valor de n é igual a:
a)1
b)2
c)3
d)4
e)5

por **Elcioschin** Sáb 01 Mar 2014, 17:13

x^n = [x^(1/2)].[(x²)^(1/6)].[(x³)^(1/24)].[(x^4)^(1/120)]. ... .[(x^k)^(1/(k+1)!]

x^n = [x^(1/2)].[x^(1/3)].[x^(1/8 )].[x^(1/30)]. .... .[x^k/(k+1)!]

x^n = x^[1/2 + 1/3 + 1/8 + 1/30 + ...... + k/(k+1)!] ou

x^n = x^[1/2! + 2/3! + 3/4! + 4/5! + k/(k+1)!]

n = 1

por vncvale Sáb 01 Mar 2014, 17:22

Obrigado, Elcioschin, mas, por curiosidade, nessa parte:
x^n = x^[1/2! + 2/3! + 3/4! + 4/5! + .... + k/(k+1)!]

Sempre essa soma, quando tem infinitos termos, 1/2! + 2/3! + 3/4! + .... + k/(k+1)!, tenderá a um?

por Dela Corte Sáb 01 Mar 2014, 17:58

Caro vncvale,

Sim. O limite dessa soma, quando k tende a infinito, será 1. Ou seja:
$Questão de Fatorial do Peru Gif$

A soma dos n primeiros termos dessa sequência é dada pela expressão 1 - 1/((n+1)!). Ou seja:
$Questão de Fatorial do Peru Gif$
(Para entender facilmente o porquê, calcule a soma dos dois primeiros termos, dos três primeiros termos, dos quatro primeiros termos e assim por diante, para ver se você "acha" o padrão.)

Jogando um número grande para n, vemos que a expressão é quase 1 já, pois se n é grande, n! será maior ainda, e como n! está no denominador da fração, essa fração terá um valor pequeno.

Para um valor infinitamente grande de n, a soma será 1, pois 1/((n+1)!) será tão pequeno que pode ser desprezado.

Algebricamente falando,
$Questão de Fatorial do Peru Gif$

Mostramos que a soma dos infinitos termos dessa sequência vale 1.

por vncvale Sáb 01 Mar 2014, 18:05

Muito obrigado, vc sabe de algum livro ou site que ensina cálculo de forma mais fácil? (tenho pouco tempo e estou no ensino médio ainda, quero aprender pq tem uma escola grande daqui de Teresina que começa a ensinar isso a partir do 1º ano)

por Dela Corte Sáb 01 Mar 2014, 18:57

Caro vncvale,

Recebi um conselho de um amigão meu que é professor, e vou passar também para você: primeiro o básico, depois o avançado. Se você tiver absoluta certeza de que já sabe todo o conteúdo do Ensino Médio, você poderá começar o Cálculo.

É claro que não há mal algum em saber conceitos básicos de Cálculo I, como limites e derivada/integral de polinômios e cônicas bidimensionais.

Recomendo o livro "Calculus: A Complete Course", do Adams e/ou "Essential Calculus", do Stewart. Dá pra achar os ".pdf" na internet de graça, e são melhores que os nacionais, se você tiver um inglês razoável.

por vncvale Sáb 01 Mar 2014, 22:03

Obrigado, meu inglês é bom e dá pra ler livros assim tranquilamente... Realmente creio que seja precoce, não estudei tudo do ensino médio então vou procurar terminar todo esse conteúdo e partir pro cálculo, espero começar a estudar isso em novembro/dezembro (período em que estou menos atarefado e já terei estudado o conteúdo do ensino médio).